Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 461
i.e. acumularea relectorilor se face în ordine inversă, realizănd o ”umplere progresivă”
a matricei Q (vezi şi comentariile la algoritmul HQc din capitolul 4).
În cazul real, atât matricele rezultat (A,B) ← (H,T) = (Q T AZ,Q T BZ) cât şi
matricele de transformare Q, Z vor fi reale. Această particularizare este imediată
prin înlocuirea procedurilor de transformare complexe utilizate cu corespondentele
lor reale. Ca să marcăm diferenţa, sintaxa de apel va fi
[H,T,Q,Z] = HTQZr(A,B,Q,Z,opt).
Complexitatea algoritmului este O(n 3 ), execuţia sa implicând, în cazul real,
N op ≈ 8n 3 operaţii în format virgulă mobilă. Acumularea matricelor de transformare
necesită N ′ op ≈ 4n 3 operaţii suplimentare pentru Q şi N ′ op ≈ 3n 3 operaţii
suplimentare pentru Z.
Algoritmul HTQZ este numeric stabil, i.e. forma Hessenberg generalizată calculată
într-o aritmetică în virgulă mobilă este o pereche exact unitar (ortogonal)
echivalentă cu o pereche uşor perturbată (A+E,B+F), unde matricele de perturbare
E şi F satisfac condiţiile ‖E‖ ≤ p(n)ε M ‖A‖ şi ‖F‖ ≤ p(n)ε M ‖B‖ cu p(n) o
funcţie cu o creştere ”modestă” de dimensunea n a problemei (v. şi §6.5, §6.6). ✸
6.3.2 Evidenţierea valorilor proprii generalizate infinite
Fie perechea (H,T) ∈ IC n×n ×IC n×n în formă Hessenberg generalizată, obţinută e.g.
cu algoritmul HTQZc, care defineşte un fascicol regulat. Dacă T este singulară,
i.e. T are (cel puţin) un element diagonal nul, atunci perechea (H,T) are (cel
puţin) o valoare proprie generalizată infinită. Într-un astfel de caz, valorile proprii
generalizate infinite pot fi evidenţiate folosind o secvenţă finită de transformări de
echivalenţă unitare (în cazul real, ortogonale), simultan cu conservarea formei Hessenberg
generalizate. Concret, există matricele unitare ˆQ şi Ẑ astfel încât matricele
perechii (H,T) ← (Ĥ, ˆT) H H
= (ˆQ HẐ, ˆQ TẐ) au structura
[ ]
H11 H
H = 12
, T =
0 H 22
[ ]
T11 T 12
, (6.43)
0 T 22
cu perechea (H 11 ,T 11 ) în formă superior Hessenberg generalizată având T 11 nesingulară,
H 22 superior triunghiulară nesingulară şi T 22 strict superior triunghiulară,
i.e. cu toate elementele diagonale nule (toate submatricele de aceiaşi indici au
aceleaşi dimensiuni). Evident, valorile proprii generalizate ale perechii (H 11 ,T 11 )
sunt valorile proprii generalizate finite ale perechii iniţiale, în timp ce valorile proprii
generalizate ale perechii (H 22 ,T 22 ) sunt valorile proprii generalizate infinite ale
acesteia.
Detaliile de construcţie a structurii (6.43) sunt următoarele.
Presupunem mai întâi că matricea T are un singur element diagonal nul. Acesta
poate fi ”deplasat” în poziţia (n,n), simultan cu conservarea formei Hessenberg
generalizate a perechii (H,T) şi cu anularea elementului (n,n−1) al matricei H,
prin aplicarea unei transformări unitare de echivalenţă sub forma unei secvenţe de
rotaţii. Concret, dacă t kk = 0, k ∈ 2:n−1 11 , este zeroul urmărit, atunci scopul
este atins executând schema de calcul
11 Dacă zeroul se află deja în ultima poziţie diagonală se execută numai instrucţiunea 2 din