Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.11. STABILITATE NUMERICĂ 357
de matricea iniţială, i.e.
Ŝ = Q H (A+E)Q, (4.361)
unde Q este o matrice unitară şi E o matrice a erorilorraportatela datele de intrare
ale algoritmului satisfăcând condiţia
‖E‖ ≤ p(n)‖A‖ε M , (4.362)
cu p(n) o funcţie de ordinul matricei, cu o creştere modestă 63 .
Dacă se acumulează transformările, atunci matricea de transformare calculată
ˆQ este aproape unitară în sensul că
ˆQ H ˆQ = In +E, cu ‖E‖ ≤ p(n)‖A‖ε M . (4.363)
Prin urmare, valorile proprii calculate cu algoritmul QR, ca şi vectorii proprii
calculaţi sau subspaţiile invariante calculate sunt valori proprii exacte, vectori
proprii exacţi sau subspaţii invariante exacte ale unor matrice foarte apropiate
de matricea dată. Această înseamnă că nivelul erorilor în rezultate va fi redus
dacă problema concretă respectivă este bine condiţionată, respectiv poate fi important
în cazul unei condiţionări necorespunzătoare. Aşa cum s-a menţionat, pentru
aprecierea erorilor din rezultate, pachetele profesionale de programe permit estimarea
numerelor de condiţionare şi, pe această bază estimarea erorilor conform
celor arătate în secţiunea precedentă. Considerăm util să prezentăm în finalul acestei
secţiuni astfel de estimări ale erorilor de calcul al valorilor proprii, vectorilor
proprii şi subspaţiilor invariante cu algoritmii propuşi în capitolul de faţă. Vom
utiliza notaţia consacrată cu accentˆpentru valorile calculate.
Matrice generale (nehermitice)
• Valori proprii:
• Vectori proprii:
• Subspaţii invariante:
|ˆλ i −λ i | ≤ κ λi p(n)‖A‖ε M . (4.364)
θ(ˆx i ,x i ) ≤ p(n)‖A‖ Fε M
sep i
. (4.365)
θ(ŜI,S I ) ≤ p(n)‖A‖ Fε M
sep I
. (4.366)
Matrice hermitice (în cazul real, simetrice)
• Valori proprii:
|ˆλ i −λ i | ≤ κ λi p(n)‖A‖ε M . (4.367)
63 Practic pentru toţi algoritmii prezentaţi în acest capitol, p(n) este o funcţie polinomială de un
grad ”modest” (1, 2 sau, foarte rar, 3) de parametri ce definesc dimensiunea problemei. Expresiile
existente, la un moment istoric dat, pentru p(n) sunt, în general, evaluări pesimiste şi cunoaşterea
exactă a acestor expresii este lipsită de semnificaţie pentru practica numerică. În [XV] se afirmă
că o apreciere de genul p(n) < 10n este adevărată în majoritatea situaţiilor practice pentru care
se foloseşte formula de evaluare ”funcţie cu o creştere modestă”.