Calculul valorilor si vectorilor proprii

344 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
proprii λ, i.e. avem Ax = λx şi, respectiv, y H A = λy H . Considerăm, ca mai
sus, matricea perturbată F = A+E, cu E = ǫG, şi λ(ǫ), x(ǫ) definite în (4.326).
Derivând, în raport cu ǫ, relaţia de definiţie
şi făcând ǫ = 0 obţinem
Gx+Az 1 = α 1 x+λz 1 , unde α 1 = dλ(ǫ)
dǫ
(A+ǫG)x(ǫ) = λ(ǫ)x(ǫ) (4.328)
∣ , z 1 = dx(ǫ)
ǫ=0
dǫ ∣ . (4.329)
ǫ=0
Dar, întrucât λ este o valoare proprie simplă, avem y H x ≠ 0 (v. exerciţiul 4.9).
Prin urmare, înmulţind relaţia (4.329) la stânga cu y H , obţinem
de unde rezultă
y H Gx+y H Az 1 = α 1 y H x+λy H z 1 ,
|α 1 | = |yH Gx|
|y H x|
≤ ‖y‖·‖G‖·‖x‖
|y H x|
= 1
|y H x| . (4.330)
Numărul
def
κ λ = 1
|y H x| = max
G ∈ IC n×n
‖G‖ = 1
|α 1 | (4.331)
(maximul fiind atins pentru G = xy H ) defineşte sensibilitatea sau numărul de
condiţionare al valorii proprii simple λ. În literatura de specialitate (v. [IV],
[VI], [XV] ) se utilizează însă curent inversul numărului de condiţionare, i.e. aşa
numitul ”parametru s” definit de
s λ
def
= |y H x|. (4.332)
Evident, cu cât κ λ este mai mare (s λ este mai mic) condiţionarea valorii proprii
simple este mai rea, erorile din datele iniţiale putând fi amplificate de până la κ λ
ori. Din punct de vedere geometric, în cazul real numărul s λ reprezintă cosinusul
unghiului ascuţit dintre direcţiile vectorilor proprii la stânga şi la dreapta asociaţi
valorii proprii simple λ. Cazul cel mai favorabil apare atunci când vectorii proprii
la stânga şi la dreapta sunt aceiaşi (e.g. matricele normale au toate valorile proprii
perfect condiţionate, v. teorema 4.1).
Este evident faptul că sensibilitatea unei valori proprii, definită de parametrul
s sau de condiţionarea κ, se referă la erorile absolute introduse de perturbaţiile
numerice în datele iniţiale. Prin urmare, erorile relative vor fi cu atât mai mari cu
cât valorile proprii sunt mai mici în modul.
FieQ ∈ IC n×n omatriceunitarăoarecare,B = Q H AQşiλ ∈ λ(A) = λ(B). Dacă
x şi y sunt vectori proprii la dreapta şi, respectiv, la stânga, de normă unitară, ai
matricei A, asociaţi valorii proprii λ, atunci ˜x = Q H x şi, respectiv, ỹ = Q H y sunt
vectori proprii de normă unitară ai matricei B, asociaţi aceleiaşi valori proprii. Se