Calculul valorilor si vectorilor proprii

444 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
P 5.33 Se consideră matricea
A(ǫ) =
[
0 In−1
ǫ 0
]
∈ IR n×n , ǫ ≥ 0.
a) Calculaţi valorile proprii şi valorile singulare ale matricei A.
b) Pentru n=10, care sunt variaţiile absolute ale modulelor valorilor proprii şi ale
valorilor singulare atunci când ǫ variază de la 0 la 10 −10
c) Trageţi concluzia că în timp ce valorile proprii ale unei matrice pot fi (foarte) rău
condiţionate, valorile singulare sunt întotdeauna perfect condiţionate. Reţineţi că această
concluzie este de o importanţă capitală în rezolvarea numerică pe calculator a problemelor
de algebră liniară în sensul că metodele care fac apel la valorilor singulare sunt cele mai
bune.
P 5.34 Arătaţi că o matrice A ∈ IC n×n este normală, i.e. A H A = AA H , dacă şi numai
dacă în descompunerea polară A = PW ”modulul” P = UΣU H ∈ IC n×n (hermitic şi
pozitiv semidefinit) şi ”factorul de fază” W = UV H (unitar) comută. (În relaţiile de mai
sus s-a utilizat DVS A = UΣV H a matricei A.)