Calculul valorilor si vectorilor proprii

More documents

Recommendations

Info

500 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI a) un vector propriu generalizat asociat valorii proprii generalizate reale distincte λ k = = s kk /t kk ; b) o pereche de vectori proprii generalizaţi complex conjugaţi asociaţi unei perechi de valori proprii generalizate complex conjugate date de o pereche diagonală 2×2 situată pe liniile şi coloanele (k,k +1). P 6.12 Se consideră dată o pereche (S,T) ∈ IC n×n × IC n×n în formă Schur generalizată având în poziţiile diagonale consecutive k, k + 1 o valoare proprie generalizată dublă λ k = s kk /t kk = λ k+1 = s k+1,k+1 /t k+1,k+1 . În ce condiţii există doi vectori proprii generalizaţi liniar independenţi asociaţi acestei valori proprii duble Considerând aceste condiţii îndeplinite, scrieţi un algoritm de calcul pentru calculul a doi astfel de vectori proprii.
Indicaţii, răspunsuri, soluţii Cap. 0. Concepte fundamentale ale calculului numeric P0.1 Rezultatul depinde de ordinea de calcul; avem y 1 = (x 1 + x 2) + x 3 = 0 şi y 2 = x 1 +(x 2 +x 3) = 0.001. Rezultatul exact este y 2 (eroare relativă egală cu 0). Pentru y 1, eroarea relativă este |0−0.001|/0.001 = 1 (adică 100%). P0.2 Rezultatul calculat este ŷ = fl(fl(x 1 +x 2)+x 3) = fl((x 1+x 2)(1+ρ 1)+x 3) = = [(x 1+x 2)(1+ρ 1)+x 3](1+ρ 2), cu |ρ 1|,|ρ 2| ≤ µβ −t , şi µ de ordinul unităţii. Rezultă că: |y −ŷ| |y| ≤ ( 1+ ) |x1 +x2| µβ −t . |x 1 +x 2 +x 3| P0.3 Presupunem că datele de intrare sunt afectate de erori, şi deci (a+∆a,b+∆b) este utilizat în loc de (a,b). Rezultatul va fi x+∆x. Din (x+∆x)(a+∆a) = (b+∆b), neglijând ∆a∆x, rezultă că ∆x/x = −∆a/a−∆b/b. Deci, problema este întotdeauna bine condiţionată (erori relative mici ale intrării implică erori relative mici ale ieşirii). Deoarece ˆx = fl(−b/a) = (−b/a)(1 + ρ) = −b(1 + ρ)/a = −ˆb/a, cu |ρ| ≤ µβ −t , algoritmul este numeric stabil. (ˆb este aproape de b). P0.4 Problema moşteneşte proasta condiţionare a sumei (de exemplu, când |a 1 +a 2| e mic şi |a 1|, |a 2| sunt mari). ”Algoritmul” x = −(b 1 +b 2)/(a 1 +a 2) este stabil. P0.5 Următorul număr în virgulă mobilă este x = 0.100...01·β 1 ; deci, x−1 = β −t+1 (eroarea de reprezentare maximă pentru rotunjirea prin trunchiere). P0.6 ε r ≤ 0.5β −t+1 . P0.7 Varianta 1: (x⊗x)⊖(y ⊗y) = [x 2 (1+ρ 1)+y 2 (1+ρ 2)](1+ρ), cu ρ 1,ρ 2,ρ de ordinul erorii de reprezentare u. Atunci eroarea relativă ε r1 ≈ ρ+ ρ1x2 −ρ 2y 2 x 2 −y 2 poate fi mare atunci când x 2 şi y 2 au valori apropiate. Varianta 2: (x⊖y)⊗(x⊕y) = [(x−y)(1+σ 1)][(x+y)(1+σ 2)](1+σ), cu σ 1,σ 2,σ de ordinul de mărime al lui u. Eroarea relativă este acum (u 2 ≪ u) ε r2 ≈ σ 1 +σ 2 +σ ≤ 3u. Varianta 1 reprezintă un algoritm cu potenţiale instabilităţi numerice; varianta 2 este un algoritm stabil.
Page 1 and 2:
Capitolul 4 Calculul valorilor şi
Page 3 and 4:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 211 În a
Page 5 and 6:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 213 Exemp
Page 7 and 8:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 215 În c
Page 9 and 10:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 217 Pasul
Page 11 and 12:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 219 Demon
Page 13 and 14:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 221 de un
Page 15 and 16:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 223 Teore
Page 17 and 18:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 225 unita
Page 19 and 20:
4.2. FORMA SCHUR 227 Exemplul 4.2 C
Page 21 and 22:
4.2. FORMA SCHUR 229 Lema 4.2 (Defl
Page 23 and 24:
4.2. FORMA SCHUR 231 unde S 11 ∈
Page 25 and 26:
4.3. METODA PUTERII. METODA PUTERII
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
4.4. ALGORITMUL QR 239 4.4 Algoritm
Page 33 and 34:
4.4. ALGORITMUL QR 241 4.4.1 Reduce
Page 35 and 36:
4.4. ALGORITMUL QR 243 prezentări
Page 37 and 38:
4.4. ALGORITMUL QR 245 i.e. H k+1
Page 39 and 40:
4.4. ALGORITMUL QR 247 Într-adevă
Page 41 and 42:
4.4. ALGORITMUL QR 249 Se observă
Page 43 and 44:
4.4. ALGORITMUL QR 251 B. Strategia
Page 45 and 46:
4.4. ALGORITMUL QR 253 Teorema 4.15
Page 47 and 48:
4.4. ALGORITMUL QR 255 nesingulară
Page 49 and 50:
4.4. ALGORITMUL QR 257 Hessenberg a
Page 51 and 52:
4.4. ALGORITMUL QR 259 cu H 11 ∈
Page 53 and 54:
4.4. ALGORITMUL QR 261 4. [A(k : l,
Page 55 and 56:
4.4. ALGORITMUL QR 263 not Consider
Page 57 and 58:
4.4. ALGORITMUL QR 265 ⎡ H ← HU
Page 59 and 60:
4.4. ALGORITMUL QR 267 structurală
Page 61 and 62:
4.4. ALGORITMUL QR 269 5. S(k:k+1,k
Page 63 and 64:
4.4. ALGORITMUL QR 271 4. % Triangu
Page 65 and 66:
4.4. ALGORITMUL QR 273 elementelor
Page 67 and 68:
4.4. ALGORITMUL QR 275 rotunjire ş
Page 69 and 70:
4.4. ALGORITMUL QR 277 sau ( ρ ki
Page 71 and 72:
4.4. ALGORITMUL QR 279 2. Pentru i
Page 73 and 74:
4.5. CALCULUL VECTORILOR PROPRII 28
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
4.6. CALCULUL SUBSPAŢIILOR INVARIA
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 297 cu m
Page 91 and 92:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 299 Algo
Page 93 and 94:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 301 În
Page 95 and 96:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 303 4.7.
Page 97 and 98:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 305 atun
Page 99 and 100:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 307 Vers
Page 101 and 102:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 309 O pr
Page 103 and 104:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 311 În
Page 105 and 106:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 313 rezu
Page 107 and 108:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 315 seo
Page 109 and 110:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 317 Not
Page 111 and 112:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 319 mul
Page 113 and 114:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 321 3.
Page 115 and 116:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 323 ele
Page 117 and 118:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 325 Pen
Page 119 and 120:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 327 tri
Page 121 and 122:
4.9. METODE ALTERNATIVE 329 egalit
Page 123 and 124:
4.9. METODE ALTERNATIVE 331 supunem
Page 125 and 126:
4.9. METODE ALTERNATIVE 333 Demonst
Page 127 and 128:
4.9. METODE ALTERNATIVE 335 BISECT
Page 129 and 130:
4.9. METODE ALTERNATIVE 337 operaţ
Page 131 and 132:
4.9. METODE ALTERNATIVE 339 ❅ ❅
Page 133 and 134:
4.9. METODE ALTERNATIVE 341 1. Dac
Page 135 and 136:
4.10. CONDIŢIONARE 343 ne propunem
Page 137 and 138:
4.10. CONDIŢIONARE 345 constată i
Page 139 and 140:
4.10. CONDIŢIONARE 347 condiţion
Page 141 and 142:
4.10. CONDIŢIONARE 349 Pentru p =
Page 143 and 144:
4.10. CONDIŢIONARE 351 F = A+E, cu
Page 145 and 146:
4.10. CONDIŢIONARE 353 subspaţiul
Page 147 and 148:
4.10. CONDIŢIONARE 355 În particu
Page 149 and 150:
4.11. STABILITATE NUMERICĂ 357 de
Page 151 and 152:
4.12. RUTINE LAPACK ŞI MATLAB 359
Page 153 and 154:
4.13. PROBLEME 361 P 4.8 Fie λ 1,
Page 155 and 156:
4.13. PROBLEME 363 P 4.25 Demonstra
Page 157 and 158:
4.13. PROBLEME 365 P 4.43 Fie matri
Page 159 and 160:
4.13. PROBLEME 367 P 4.59 Adaptaţi
Page 161 and 162:
Capitolul 5 Descompunerea valorilor
Page 163 and 164:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 371 Demon
Page 165 and 166:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 373 ✻x
Page 167 and 168:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 375 Prin
Page 169 and 170:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 377 unde
Page 171 and 172:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 379 În s
Page 173 and 174:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 381 rela
Page 175 and 176:
5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 383
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
5.3. ALGORITMUL DVS 393 5.3 Algorit
Page 187 and 188:
5.3. ALGORITMUL DVS 395 utilizaţi
Page 189 and 190:
5.3. ALGORITMUL DVS 397 Comentarii.
Page 191 and 192:
5.3. ALGORITMUL DVS 399 condiţia d
Page 193 and 194:
5.3. ALGORITMUL DVS 401 ⎡ J ← U
Page 195 and 196:
5.3. ALGORITMUL DVS 403 Având în
Page 197 and 198:
5.3. ALGORITMUL DVS 405 suprascrier
Page 199 and 200:
5.3. ALGORITMUL DVS 407 5. Dupăîn
Page 201 and 202:
5.3. ALGORITMUL DVS 409 5. Dacă op
Page 203 and 204:
5.4. CONDIŢIONARE 411 opt 1 opt 2
Page 205 and 206:
5.4. CONDIŢIONARE 413 Demonstraţi
Page 207 and 208:
5.5. STABILITATEA ALGORITMULUI DVS
Page 209 and 210:
5.6. APLICAŢIILE DVS 417 problema
Page 211 and 212:
5.6. APLICAŢIILE DVS 419 urmare,
Page 213 and 214:
5.6. APLICAŢIILE DVS 421 şi de un
Page 215 and 216:
5.6. APLICAŢIILE DVS 423 x, i.e. (
Page 217 and 218:
5.6. APLICAŢIILE DVS 425 [ (A(i,:)
Page 219 and 220:
5.6. APLICAŢIILE DVS 427 minimul a
Page 221 and 222:
5.6. APLICAŢIILE DVS 429 5.6.4 Pro
Page 223 and 224:
5.6. APLICAŢIILE DVS 431 Problema
Page 225 and 226:
5.6. APLICAŢIILE DVS 433 Prin urma
Page 227 and 228:
5.6. APLICAŢIILE DVS 435 se obţin
Page 229 and 230:
5.6. APLICAŢIILE DVS 437 7. x ∗
Page 231 and 232:
5.6. APLICAŢIILE DVS 439 2. Se cal
Page 233 and 234:
5.8. PROBLEME 441 Dar ale matricei
Page 235 and 236:
5.8. PROBLEME 443 are o soluţie un
Page 237 and 238:
Capitolul 6 Calculul valorilor şi
Page 239 and 240:
6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 447 ( [ ]
Page 241 and 242: 6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 449 Propr
Page 243 and 244: 6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 451
Page 245 and 246: 6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 453
Page 247 and 248: 6.3. ALGORITMUL QZ 455 6.3 Algoritm
Page 249 and 250: 6.3. ALGORITMUL QZ 457 ⎡ (A,B)
Page 251 and 252: 6.3. ALGORITMUL QZ 459 În cazul re
Page 253 and 254: 6.3. ALGORITMUL QZ 461 i.e. acumula
Page 255 and 256: 6.3. ALGORITMUL QZ 463 (H,T)←((Q
Page 257 and 258: 6.3. ALGORITMUL QZ 465 5. Dacă opt
Page 259 and 260: 6.3. ALGORITMUL QZ 467 construcţia
Page 261 and 262: 6.3. ALGORITMUL QZ 469 Această sch
Page 263 and 264: 6.3. ALGORITMUL QZ 471 5. Pentru k
Page 265 and 266: 6.3. ALGORITMUL QZ 473 2. % Determi
Page 267 and 268: 6.3. ALGORITMUL QZ 475 2. Se determ
Page 269 and 270: 6.3. ALGORITMUL QZ 477 actuală. Pe
Page 271 and 272: 6.3. ALGORITMUL QZ 479 (H,T)←(HZ
Page 273 and 274: 6.3. ALGORITMUL QZ 481 6. H(:,n−2
Page 275 and 276: 6.3. ALGORITMUL QZ 483 Algoritmul 6
Page 277 and 278: 6.3. ALGORITMUL QZ 485 perechea (S,
Page 279 and 280: 6.4. CALCULUL SUBSPAŢIILOR DE DEFL
Page 289 and 290: 6.6. STABILITATEA ALGORITMULUI QZ 4
Page 291: 6.8. PROBLEME 499 cu α, β paramet
Page 295 and 296: INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 5
Page 325 and 326: Bibliografie [1] J.O. Aasen. On the
Page 327 and 328: BIBLIOGRAFIE 535 [31] S. Haykin. Ad
Page 329 and 330: Index acurateţe, 13 algoritmi la n
Page 331 and 332: INDEX 539 hermitică, 49, 215 Hesse
Page 333: INDEX 541 a algoritmului QR, 356 a
show all

Calculul valorilor si vectorilor proprii

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?