Calculul valorilor si vectorilor proprii

384 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
5.2.2 Norme matriceale
Valorile singulare permit definirea unei clase interesante de norme matriceale unitar
(ortogonal) invariante.
Propoziţia 5.3 Fie A ∈ IC m×n şi σ(A) = {σ 1 ,σ 2 ,···,σ r } valorile sale singulare
nenule. Atunci
( r∑
) 1
p
def
|A| p = σ p i , p = 1,2,... (5.42)
i=1
sunt norme matriceale numite p-norme Schatten. p-normele Schatten sunt invariante
la transformări unitare, i.e.
oricare ar fi matricele unitare W ∈ IC m×m şi Z ∈ IC n×n .
Demonstraţie. Vezi [II].
|WAZ| p = |A| p , (5.43)
Următoareapropoziţierelevălegăturăstrânsădintrep-normeleSchattenşiunele
norme matriceale uzuale.
Propoziţia 5.4 Fie matricea A ∈ IC m×n şi σ 1 ,σ 2 ,···,σ r valorile sale singulare
nenule. Avem
def
|A| 1 = σ 1 +σ 2 +···+σ r = ‖A‖ tr , (5.44)
√
|A| 2 = σ1 2 +σ2 2 +···+σ2 r = ‖A‖ F , (5.45)
|A| ∞ = σ 1 = ‖A‖ 2 , (5.46)
i.e. norma urmă este definită de suma valorilor singulare, norma Frobenius este
egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor valorilor singulare, iar norma spectrală
a unei matrice coincide cu valoarea singulară maximă.
Demonstraţie. Relaţia(5.45)rezultăimediatdin (5.3)având învedereconservarea
normei Frobenius la transformările unitare (ortogonale). Expresia (5.46) a normei
spectrale rezultă din însăşi demonstraţia teoremei 5.1 (vezi (5.7)), q.e.d. ✸
✸
5.2.3 Numere de condiţionare
Dacă matricea A este pătrată (n×n) şi nesingulară obţinem evaluări imediate ale
numărului de condiţionarela inversare înraportcu normele matricealeuzuale. Întradevăr,
este uşor de văzut din (5.3) că valorile singulare ale matricei inverse sunt
inversele valorilor singulare ale lui A, i.e. dacă σ(A) = {σ 1 ,σ 2 ,···,σ n }, atunci
σ(A −1 ) = {σn −1 ,σn−1 −1 ,···,σ−1 1
Prinurmare,‖A −1 ‖ tr = σ1 −1 +σ−1 2 +···+σ−1 n , ‖A −1 ‖ F =
}. (5.47)
√
σ1 −2 +σ2 −2 +···+σn
−2
şi ‖A −1 ‖ 2 = 1/σ n , iar numărul de condiţionare la inversare al matricei A are expresiile
κ tr (A) def
= ‖A‖ tr ‖A −1 ‖ tr = (σ 1 +σ 2 +···+σ n )(σ −1
1 +σ −1
2 +···+σ −1
n ), (5.48)