Calculul valorilor si vectorilor proprii

362 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
P 4.17 Ce rang (i.e. numărul maxim de linii sau coloane liniar independente)poate avea o
matrice superior Hessenberg H ∈ IC n×n ireductibilă (i.e. cu toate elementele subdiagonale
nenule) Se poate diagonaliza o matrice superior Hessenberg ireductibilă cu valori proprii
multiple Justificaţi răspunsul.
P 4.18 Fie o matrice A ∈ IC n×n de forma
⎡
−p 1 −p 2 ··· −p n−1 −p n
1 0 ··· 0 0
C =
0 1 ··· 0 0
⎢
⎣
.
.
. ..
. ..
. ..
0 0 ··· 1 0
⎤
⎥.
⎦
a) Să se arate că polinomul caracteristic al matricei A este
p(λ) = λ n +p 1λ n−1 +...+p n−1λ+p n.
b) Să se arate că matricea C este nesingulară dacă şi numai dacă p n ≠ 0 şi în această
situaţie să se calculeze matricea C −1 . Care este polinomul caracteristic al matricei C −1
c) Presupunând că rădăcinile λ i, i = 1 : n, ale polinomului p(λ), sunt cunoscute, să se
calculeze câte un set de vectori proprii pentru matricele C şi C T . d) Matricile C şi C T
poartă numele de matrice companion ale polinomului p(λ). Puteţi preciza şi alte matrice
care să justifice această denumire
P 4.19 a) Calculaţi valorile şi vectorii proprii pentru o matrice de rotaţie. b) Calculaţi
valorile şi vectorii proprii pentru un reflector elementar.
P 4.20 Demonstraţi că o matrice normală triunghiulară este diagonală. În particular, o
matrice hermitică (simetrică) sau unitară (ortogonală) triunghiulară este diagonală.
P 4.21 Arătaţi că o matrice [ A ∈]
IR 2×2 este normală dacă şi numai dacă este simetrică
α β
sau are structura A = .
−β α
P 4.22 Demonstraţi următorul rezultat important. O matrice reală A ∈ IR n×n este
normală dacă şi numai dacă este ortogonal cvasi-diagonalizabilă, i.e. există o matrice ortogonală
Q ∈ IR n×n astfel încât Q T AQ = diag(A 1,A 2,...,A p), unde A i sunt [ blocuri reale ]
α i β i
1×1 sau 2×2, cu blocurile 2×2 cu valori proprii complexe de forma A i = .
−β i α i
P 4.23 Se consideră o matrice arbitrară A ∈ IC n×n . Demonstraţi următoarele aserţiuni.
a) Matricile F = A H +A, G = A H A, H = AA H sunt hermitice. b) Matricea K = A−A H
este antihermitică. c) Matricea A poate fi descompusă, în mod unic, în suma A = B+C,
unde B este hermitică (numită partea hermitică a lui A), iar C este antihermitică (numită
partea antihermitică a lui A). d) Matricea A poate fi descompusă, în mod unic, în suma
A = S +iT, unde S şi T sunt matrice hermitice.
P 4.24 Fie A,B ∈ IC n×n două matrice hermitice şi C,D ∈ IC n×n două matrice antihermitice.
Demonstraţi următoarele aserţiuni. a) Matricile F = αA + βB, cu α,β ∈ IR,
G = A k , cu k ∈ IN ∗ , K = C 2k , şi, dacă A este nesingulară, L = A −1 sunt matrice hermitice.
b) Matricile M = αC +βD, cu α,β ∈ IR, N = C 2k+1 şi, dacă C este nesingulară,
P = C −1 sunt matrice antihermitice.