Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.9. METODE ALTERNATIVE 341
1. Dacă |a ij | > µ atunci
1. µ = |a ij |
2. p ← j
3. q ← i
3. [A,c,s] = IT J(A,q,p)
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Pentru i = 1 : n
1. ρ = cq ip −sq iq
2. q iq ← sq ip +cq iq
3. q ip ← ρ.
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului J clasic va fi
[A,Q] = J clasic(A,Q,tol,opt),
iar complexitatea sa, pentru n relativ mari poate fi apreciată statistic la O(n 3 ) şi
la O(n 4 ) pentru n relativ reduse.
✸
Metoda Jacobi ciclică
Dezavantajul principal al metodei Jacobi clasice constă în necesitatea căutării, la
fiecare iteraţie, a elementului extradiagonal de modul maxim, o operaţie de complexitate
O(n 2 ) comparaţii, în timp ce complexitatea de calcul a unei iteraţii este
de numai O(n). De aceea, pentru a se asigura o eficienţă sporită, metoda Jacobi ciclică
evită efectuarea comparaţiilor prin anularea elementelor extradiagonale într-o
ordine predeterminată. Având în vedere că elementele anulate pot deveni nenule
într-o fază ulterioară a aceleiaşi iteraţii sau într-o iteraţie ulterioară, anulările se
reiau, ciclic, până la satisfacerea criteriului de oprire a iteraţiilor.
Presupunând că operăm exclusiv în triunghiul inferior al matricei A şi efectuăm
anulările pe linii, în ordinea naturală, i.e. în cadrul unui ciclu, în ordinea (2,1),
(3,1), (3,2), ...(n,1),...(n,n−1), obţinem următorul algoritm.
Algoritmul 4.31 (J ciclic – Diagonalizare iterativă a unei matrice
simetrice prin metoda Jacobi ciclică) (Date matricea simetrică A ∈
∈ IR n×n , prin triunghiul său inferior, matricea ortogonală Q ∈ IR n×n şi
toleranţa tol < 1, algoritmul calculează valorile proprii ale matricei A
prin diagonalizarea iterativă cu rotaţii Jacobi care anulează elementele
extradiagonale ciclic, pe linii. Acumularea transformărilor se realizează
opţional, pe baza opţiunii exprimate prin intermediul unei variabile logice
opt, care poate lua valorile ’da’ sau ’nu’. Dacă opt = ′ nu ′ , matricea
Q rămâne nemodificată.)
1. σ = ∑ n
i=2
∑ i−1
j=1 a2 ij
2. ν A = √ 2σ+ ∑ n
i=1 a2 ii , ν E = √ 2σ
3. C^at timp ν E > tol ∗ν A
1. Pentru q = 2 : n