Calculul valorilor si vectorilor proprii

504 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
2. Dacă k < n atunci
1. Pentru i = k +1 : n
1. b i ← b i −l ik x k
Bucla Pentru i se poate înlocui cu operaţia
b(k +1 : n) ← Saxpy(−x k ,L(k +1 : n,k),b(k +1,n)).
P1.27 Notăm cu L(k) elementul aflat la adresa k în vectorul L în care se memorează
compact matricea triunghiulară. (Considerăm L(1) primul element.)
1. x ← b
2. k ← 1
3. Pentru i = 1 : n
1. Pentru j = 1 : i−1
1. x i ← x i −L(k)x j
2. k ← k +1
2. x i ← x i/L(k)
3. k ← k +1
P1.28 b. Presupunând v = γu, γ ≠ 0, fie λ ∈ IC valoarea proprie pentru care
A(u + iv) = λ(u + iv). Evident, Au = λu, deci λ ∈ IR, deci γ = 0. Aşadar v nu este
coliniar cu u.
Notând λ = α+iβ, cu α,β ∈ IR, egalitatea evidentă
[ ]
α −β
A[u v] = [u v]
β α
arată că Au şi Av sunt combinaţii liniare de u şi v.
P1.29 Din det(λI −A) = 0 şi relaţiile lui Viète.
P1.30 Din Ax = λx rezultă x T Ax = λ‖x‖ 2 , deci λ > 0.
Cap. 2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare
P2.1 Se folosesc matrice inferior triunghiulare elementare modificate, tot de forma
M k = I −m k e T k, dar cu m k = [µ 1k ... µ k−1,k 0 ... 0] T .
P2.2 Pentru GPP, se folosesc funcţiile xSWAP pentru interschimbarea a două linii
(bucla1.3), xSCAL pentrucalculul multiplicatorilor (bucla1.4) şixAXPY pentru actualizările
din bucla 1.5.1.
P2.3 Este evident că, la primul pas al eliminării gaussiene, pivotul este a 11 şi
|µ i1| = |a i1|/|a 11| < 1. Notând B = M 1A matricea transformată după primul pas al
eliminării, să demonstrăm că submatricea B(2 : n,2 : n) este diagonal dominantă pe
coloane (apoi, prin inducţie, problema este rezolvată). Ţinând seama că b ij = a ij −µ i1a 1j
(pentru i,j ≥ 2), avem
∑
|b ij| ≤
i=2,i≠j
∑
|a ij|+|µ i1||a 1j| < |a |a11|−|aj1|
jj|−|a 1j|+ |a 1j| < |a jj|−|µ j1||a 1j| < |b jj|.
i=2,i≠j
P2.4 a. Evident, µ ik = x i/x k , pentru i ≠ k.
b. Algoritmul este similar cu cel de eliminare gaussiană, numai că operaţiile se
desfăşoară permanent pe toate liniile.
|a 11|