Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 325<br />
Pentru exemplificare prezentăm evoluţia structurală a matricei T în cazul<br />
n=5. La fel ca în diagramele structurale precedente, şi aici semnul ”+” marchează<br />
elementul nul alterat iar ”∅” elementul anulat la pasul curent. Încadrările indică<br />
liniile sau coloanele afectate la pasul curent.<br />
⎡<br />
T←P12 T T = ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
T←P23 T T = ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
T ←P34 T T = ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
T←P45 T T = ⎢<br />
⎣<br />
× × + 0 0<br />
× × × 0 0<br />
0 × × × 0<br />
0 0 × × ×<br />
0 0 0 × ×<br />
× × × 0 0<br />
× × × + 0<br />
∅ × × × 0<br />
0 0 × × ×<br />
0 0 0 × ×<br />
× × 0 0 0<br />
× × × × 0<br />
0 × × × +<br />
0 ∅ × × ×<br />
0 0 0 × ×<br />
× × 0 0 0<br />
× × × 0 0<br />
0 × × × ×<br />
0 0 × × ×<br />
0 0 ∅ × ×<br />
,<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
, T←TP 12 =<br />
⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
⎡<br />
, T←TP 23 =<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
⎡<br />
, T←TP 34 =<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
⎡<br />
, T←TP 45 =<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
× ×<br />
× ×<br />
+ ×<br />
0 0<br />
0 0<br />
×<br />
×<br />
0<br />
0<br />
0<br />
× ×<br />
× ×<br />
0 ×<br />
0 0<br />
0 0<br />
× ∅<br />
× ×<br />
× ×<br />
+ ×<br />
0 0<br />
× × 0<br />
× × ×<br />
0 × ×<br />
0 0 ×<br />
0 0 0<br />
× 0 0<br />
× 0 0<br />
× × 0<br />
× × ×<br />
0 × ×<br />
0 0<br />
× ∅<br />
× ×<br />
× ×<br />
+ ×<br />
0 0<br />
× 0<br />
× 0<br />
× ×<br />
× ×<br />
0<br />
0<br />
×<br />
×<br />
×<br />
0 0<br />
0 0<br />
× ∅<br />
× ×<br />
× ×<br />
<strong>Calculul</strong> elementelor definitorii c k şi s k ale rotaţiei P k,k+1 se face cu procedura<br />
Gr (v. tabelul 4.3), iar pentru calculul economic al produselor Pk,k+1 T T <strong>si</strong> ¸ TP k,k+1<br />
se renunţă la utilizareaprocedurilorGrs şi Grd pentru a exploataeficient structura<br />
tridiagonală şi <strong>si</strong>metria matricei T.<br />
Cu aceste precizări putem prezenta algoritmul de implementare al unui pas QR<br />
<strong>si</strong>metric cu deplasare Wilkinson implicită.<br />
Algoritmul 4.26 (IT QR<strong>si</strong>m – Un pas QR <strong>si</strong>metric cu deplasare<br />
Wilkinson implicită) (Dată omatrice<strong>si</strong>metricătridiagonalăireductibilă<br />
T ∈ IR n×n prin vectorul f ∈ IR n al elementelor diagonale şi vectorul<br />
g ∈ IR n−1 al elementelor subdiagonale, algoritmul calculează vectorii<br />
definitorii f şi g ai matricei succesor din şirul QR <strong>si</strong>metric. Toate<br />
calculele se efectuează pe loc, în locaţiile de memorie ale elementelor<br />
<strong>vectorilor</strong> f şi g. Pentru elementul ”rătăcitor”, care afectează temporar<br />
structura tridiagonală se utilizează o variabilă scalară locală τ. Algoritmul<br />
furnizează, de asemenea, vectorii c şi s ale căror elemente definesc<br />
rotaţiile utilizate.)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
.<br />
⎥<br />
⎦
Change language