Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 433
Prin urmare, soluţia problemei CMMP (5.167), în situaţia
n−r
∑ B
i=1
|˜d i | 2 +
p∑
i=n+1
|˜d i | 2 = γ 2 . (5.174)
este
⎡
y ∗ =
⎢
⎣
˜b1
c 1
.
˜bn−rB
c n−rB
˜d n−rB+1
s n−rB+1
.
˜d n
s n
⎤
, ry
∗ ⎥
⎦
def
= Cy ∗ −˜b =
⎡
⎢
⎣
0
.
0
σ n−rB+1˜d n−rB+1
.
σ rA
˜drA
˜brA+1
.
˜bm
⎤
, (5.175)
⎥
⎦
iar soluţia corespunzătoare a problemei CMMP iniţiale, în acest caz, este
x ∗ = W −1 y ∗ , r ∗ = Ur ∗ y , (5.176)
cu valoarea minimă a normei euclidiene a reziduului dată de
‖r ∗ ‖ = ‖r ∗ y ‖ = √ √√√
r A
∑
i=n−r B+1
|σ i˜di −˜b i | 2 +
m∑
i=r A+1
|˜b i | 2 , (5.177)
unde σ i = c i
s i
, i = n−r B +1 : r A , sunt valorile singulare generalizate finite şi nenule
ale perechii (A,B).
2. În continuare, studiem situaţia în care inegalitatea (5.171) este satifacută
strict, i.e.
n−r
∑ B p∑
|˜d i | 2 + |˜d i | 2 < γ 2 . (5.178)
i=1
i=n+1
În acest caz, considerăm cea mai mică valoare posibilă (i.e. în absenţa oricăror
restricţii) pe care o poate lua funcţia criteriu φ(y) din (5.169) şi anume
care se obţine pentru y ∈ Ỹ unde
m µ = min
y ∈ IC nφ(y) = ∑
|˜b i | 2 , (5.179)
i=r A+1
Ỹ = {y | y ∈ IC n cu y i = ˜b i
c i
, i = 1 : r A }, (5.180)