Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 351
F = A+E, cu E = ǫG, ‖G‖ = 1, şi λ k (ǫ), x k (ǫ) (cu ‖x k ‖ = 1) valorile şi vectorii
proprii ai matricei perturbate, definiţi ca în (4.326). Adaptând notaţiile la noul
context, relaţia (4.329) se poate scrie sub forma
Gx k +Az (k)
1 = α (k)
1 x k +λ k z (k)
1 , unde α(k) 1 = dλ k(ǫ)
dǫ ∣ , z (k)
1 = dx k(ǫ)
ǫ=0
dǫ ∣ .
ǫ=0
(4.347)
Întrucât, în ipotezele acceptate, vectorii proprii x k , k = 1 : n, formează o bază
a spaţiului IC n , putem scrie z (k)
1 = ∑ n
i=1 γ(k) i x i , relaţie care, introdusă în (4.347),
conduce la
n∑
i=1
i≠k
γ (k)
i (λ k −λ i )x i = (G−α k I n )x k . (4.348)
Înmulţind la stânga relaţia (4.347) cu y H i , unde y i este vectorul propriu la stânga
asociat valorii proprii λ i , şi ţinând seama de faptul că y H j x i = 0 pentru j ≠ i şi
y H i x i ≠ 0 (v. exerciţiile 4.8 şi 4.9) obţinem
γ (k)
i =
yi HGx k
(λ k −λ i )yi Hx , i = 1 : n, i ≠ k. (4.349)
i
Prinurmare,dezvoltareaînserie(4.326)conducelaurmătoareaevaluareainfluenţei
perturbaţiei asupra vectorului propriu x k :
n∑ yi H x k (ǫ) = x k +ǫ
Gx k
(λ k −λ i )yi Hx x i +O(ǫ 2 ). (4.350)
i
i=1
i≠k
În sensul celor precizate în preambulul acestei secţiuni, putem considera
n∑ yi H κ xk = ‖
Gx k
(λ k −λ i )yi Hx x i ‖ (4.351)
i
i=1
i≠k
drept număr de condiţionare al vectorului propriu x k . Relaţia (4.351) arată că
sensibilitatea unui vector propriu este dependentă esenţial atât de sensibilităţile
tuturor valorilor proprii cât şi de distanţa (”separarea”) valorii proprii asociate faţă
de celelalte valori proprii.
Exemplul [ 4.10]
Reluăm matricea din exemplul precedent, respectiv considerăm
λ1 β
A = ∈ IR 2×2 cu λ
0 λ 1 ≠ λ 2 şi notăm δ = λ 1 − λ 2 . Vectorii proprii, de
2
normă unitară, au expresiile (făcând abstracţie de semn)
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 β 1 δ 0
x 1 = , x
0 2 = √ , y
β2 +δ 2 −δ 1 = √ , y
β2 +δ 2 β 2 = .
1
Prin urmare, relaţiile (4.351) se scriu în acest caz sub forma
κ x1 = ‖ yT 2 Gx 1
δy T 2 x 2
x 2 ‖, κ x2 = ‖ yT 1 Gx 2
δy1 Tx x 1 ‖.
1