Calculul valorilor si vectorilor proprii

462 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
DZ-k,n
% Deplasarea zeroului diagonal al matricei T din poziţia (k,k) în poziţia (n,n)
1. Dacă k < n
1. Pentru i = k+1 : n
1. Se determină rotaţia Q (kn)
i−1,i
astfel încât ((Q(kn)
i−1,i )H T)(i,i) = 0
2. H ← (Q (kn)
i−1,i )H H % Se alterează zeroul din poziţia (i,i−2) a lui H
3. T ← (Q (kn)
i−1,i )H T
4. Se determină rotaţia Z (kn)
i−2,i−1 astfel încât (HZ(kn) i−2,i−1 )(i,i−2) = 0
5. H ← HZ (kn)
i−2,i−1
6. T ← TZ (k)
i−2,i−1
2. % Ultima rotaţie:
1. Se determină rotaţia Z (kn)
n−1,n astfel încât (HZ(kn) n−1,n )(n−1,n) = 0
2. H ← HZ (kn)
n−1,n
3. T ← TZ (kn)
n−1,n
Această schemă se completează corespunzător cu eventuala actualizare a matricelor
de transformare. Pentru a dezvălui mai clar mecanismul schemei de calcul
de mai sus considerăm un exemplu cu n = 4 şi k = 2. În diagramele structurale de
mai jos am marcat cu ∅ anulările curente de elemente şi cu + alterările temporare
de zerouri. Încadrările marchează liniile şi coloanele afectate în etapa respectivă.
⎡
(H,T) = ( ⎢
⎣
× × × ×
× × × ×
0 × × ×
0 0 × ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× × × ×
0 0 × ×
0 0 × ×
0 0 0 ×
⎤
⎥
⎦ ),
(H,T)←((Q (24)
23 )H H,(Q (24)
23 )H T) = ( ⎢
⎣
⎡
× × × ×
× × × ×
+ × × ×
0 0 × ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× × × ×
0 0 × ×
0 0 ∅ ×
0 0 0 ×
⎤
⎥
⎦ ),
⎡
(H,T) ← (HZ (24)
12 ,TZ(24) 12 ) = ( ⎢
⎣
× ×
× ×
∅ ×
0 0
× ×
× ×
× ×
× ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× ×
0 0
0 0
0 0
× ×
× ×
0 ×
0 ×
⎤
⎥
⎦ ),
schema de calcul DZ-k,n pentru anularea elementului H(n − 1,n). Dacă zeroul se află în
poziţia (1,1) deplasarea sa în poziţia (n,n) are un început atipic a cărui prezentare ar fi complicat
schema de calcul. Cititorul interesat poate desprinde acest caz din algoritmul 6.2, prezentat mai
departe.