Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 511
Numărul de operaţii este însă sensibil mai mare decât pentru CHOL. Pentru a-l
reduce, se elimină înmulţirea cu d j din 1.2.1 astfel
1. Pentru k = 1 : n
1. Pentru j = 1 : k −1
1. a kj ← l kj = a kj /d j
2. a kk ← d k = a kk − ∑ k−1
j=1 l2 kjd j
3. Pentru i = k +1 : n
1. a ik ← a ik − ∑ k−1
lijl j=1 kj
Cap. 3. Problema celor mai mici pătrate
P3.3 Scriem ca de obicei Ux = x − νu, unde ν = u T x/β. Prin urmare trebuie să
avem x − νu = ρy, deci putem lua u = x − ρy, unde modulul lui ρ e fixat prin condiţia
‖Ux‖ = ‖x‖, iar semnul se alege în mod adecvat.
P3.4 a. Amintim că U este o transformare involutivă, i.e. U 2 = I, prin urmare
condiţia impusă este echivalentă cu ρUx = e 1, unde ρ = ‖x‖ ≠ 0.
b. U este o transformare ortogonală, deci coloanele matricei U sunt vectori normaţi şi
ortogonali doi câte doi în IR m .
P3.5 a. Cu notaţiile din secţiunea 2.1, consideraţi transformarea elementară stabilizată
T = M 1P 1 astfel încât (Tx) i = 0, i = 2 : m. Arătaţi că vectorii y j = T T e j,
j = 2 : m, satisfac condiţia cerută. Ce se obţine dacă în locul lui T se consideră un
reflector
P3.6 Evident, funcţia ρ 2 (α) = ‖y −αx‖ 2 este un polinom de gradul 2 în α,
ρ 2 (α) = α 2 ‖x‖ 2 −2αy T x+‖y‖ 2 ,
deci problema este elementară. Interpretarea geometrică devine transparentă dacă presupunem
că ‖x‖ = 1.
P3.7 a. detU = −1.
b. Scriem Ux = λx şi obţinem (λ − 1)x = −2u(u T x), unde x ≠ 0. Prin urmare
avem fie (i) λ = 1 şi u T x = 0, fie (ii) x = u şi λ = −1. În primul caz obţinem m − 1
vectori proprii ortogonali (vezi problemele 3.4b sau 3.5b), deci λ = 1 este valoare proprie
de multiplicitate (algebrică şi geometrică) m−1. Prin urmare λ = −1 este valoare proprie
simplă. Descompunerea spectrală U = VΛV T se scrie cu uşurinţă.
c. Utilizăm relaţia U 2 = I m. [ ]
0 1
P3.8 De exemplu, în cazul Π = putem lua u = [1 −1] T , β = 1/2.
1 0
P3.9 a. Dacă S = R T R este factorizarea Cholesky a lui S, atunci relaţia U T SU = S
este echivalentă cu V T V = I m, unde V = RUR −1 .
b. Consideraţi matricea U = I m − 2uu T S, unde ‖u‖ 2 S = 1, şi arătaţi că U este
S-ortogonală şi S-simetrică. Algoritmii de tip 3.1 şi 3.2 se scriu în mod evident.
P3.10 b. Condiţia este ‖x‖ J > 0, deci nu orice vector nenul din IR m poate fi adus
la forma (3.200) utilizând J-reflectori. (Aceasta este o deosebire esenţială faţă de cazul
euclidian uzual.) Vectorii cu ‖x‖ J < 0 pot fi aduşi la forma Ux = −σe p+1, iar vectorii
izotropi (care satisfac (3.198)) rămân izotropi. Înplus, transformarea este rău condiţionată
în vecinătatea conului (3.198).
c. Partiţionând matricele S şi R conform cu J, putem scrie
[ ] [
S11 S 12 R
T
S12 T = 11 0
S 22
R T 12 R T 22
][
Ip 0
0 −I q
][
R11 R 12
0 R 22
]
, (7.3)