Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 223
Teorema 4.7 (Wielandt – Hoffmann) Dacă matricele A,E ∈ IC n×n sunt hermitice,
atunci
n∑
(λ j (A+E)−λ j (A)) 2 ≤ ‖E‖ 2 F, (4.56)
∑ i−1
j=1 |e ij| 2 = √ ∑ n
i=1 λ2 i (E) este norma Fro-
unde ‖E‖ F =
benius a matricei E.
j=1
√ ∑n
i=1 |e ii| 2 +2 ∑ n
i=2
Demonstraţie. Pentru demonstraţie se poate consulta [IV].
Un rezultat remarcabil, de o factură aparte, se referă la inerţia unei matrice.
Inerţia unei matrice hermitice A ∈ IC n×n se defineşte prin tripletul (n − ,n 0 ,n + )
unde n − este numărul valorilor proprii negative, n 0 este numărul valorilor proprii
nule şi, respectiv, n + este numărul valorilor proprii pozitive ale matricei A. De
asemenea, se spune că două matrice (hermitice) A,B ∈ IC n×n sunt congruente dacă
există o matrice nesingulară T ∈ IC n×n astfel încât B = T H AT. Rezultatul, datorat
lui Sylvester, are următorul enunţ.
Teorema 4.8 Două matrice hermitice congruente au aceeaşi inerţie.
Demonstraţie. Fie A ∈ IC n×n hermitică, B = T H AT cu T nesingulară şi λ k (A)
o valoare proprie nenulă a matricei A. Presupunem că spectrele matricelor A şi B
sunt ordonate descrescător. Conform teoremei Courant-Fisher avem
λ k (B) = max
dimV = k
min x H Bx ≥ min x H x H Bx
Bx = min
x ∈ V S x ∈ ṼS x ∈ Ṽ∗ x H x , (4.57)
unde Ṽ este orice subspaţiu particular de dimensiune k, iar Ṽ∗ = Ṽ \ {0}. Considerând
Ṽ = ImT−1 Q ′ k , cu Q′ k definit în (4.27), avem x ∈ Ṽ∗ dacă şi numai dacă
x = T −1 Q ′ k z cu z ∈ ICk , z ≠ 0. Pe de altă parte, matricea R def
= TT H este hermitică,
pozitiv definită (i.e. x H Rx > 0, ∀x ≠ 0) şi, prin urmare, are spectrul real şi
pozitiv (demonstraţi!) aceleaşi proprietăţi avându-le şi matricea R −1 = T −H T −1 .
Cu aceste precizări, pentru toţi x ∈ Ṽ∗ , avem
{
x H Bx = x H T H QΛ A Q H Tx = z H diag(λ 1 (A),λ 2 (A),...,λ k (A))z
x H x = z H Q ′H
k R−1 Q ′ k z, , (4.58)
de unde, ţinând seama de ordonarea valorilor proprii, rezultă
✸
Cu aceste inegalităţi, din (4.57), obţinem
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x H Bx ≥ λ k (A)z H z
λ min (R −1 )z H z ≤ x H x ≤ λ max (R −1 )z H z.
λ k (B) ≥
λ k(A)
λ max (R −1 ) , dacă λ k(A) > 0
λ k (B) ≥ λ k(A)
λ min (R −1 ) , dacă λ k(A) < 0.
(4.59)
(4.60)