Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.3. METODA PUTERII. METODA PUTERII INVERSE 233
4.3.1 Metoda puterii
Considerăm o matrice A ∈ IC n×n care are o valoare proprie dominantă, i.e. o valoare
proprie de modul strict superior modulelor tuturor celorlalte. Numerotăm valorile
proprii ale matricei A în ordinea descrescătoare a modulelor
|λ 1 | > |λ 2 | ≥ |λ 3 | ≥ ... ≥ |λ n |. (4.88)
Fie y (0) ∈ IC n un vector de normă euclidiană unitară a cărui proiecţie ortogonală
pe ”direcţia” vectorului propriu x 1 asociat valorii proprii dominante λ 1 ∈ λ(A) este
nenulă, i.e. x H 1 y(0) ≠ 0. Generic, un vector aleator normat satisface o astfel de
condiţie. Dacă A este o matrice simplă, i.e. există o bază a spaţiului IC n formată
din vectorii proprii x 1 , x 2 , ..., x n ai acesteia, atunci y (0) poate fi descompus, în mod
unic, în raport cu acestă bază
unde
y (0) =
n∑
γ i x i , (4.89)
i=1
Dacă definim şirul vectorial (y (k) ) k∈IN prin
γ 1 ≠ 0. (4.90)
y (k) = ρ k Ay (k−1) , k = 1,2,··· (4.91)
cu iniţializarea y (0) şi ρ k un factor de normare definit de
ρ k =
atunci, folosind inducţia, este uşor de arătat că
1
‖Ay (k−1) ‖ , (4.92)
y (k) = ˜ρ k A k y (0) , (4.93)
unde ˜ρ k este un factor de normare cumulat ˜ρ k = 1/‖A k y (0) ‖. Din (4.89), (4.93) şi
lema 4.2 rezultă
∑ n n
( )
∑
n∑
y (k) = ˜ρ k A k x i = ˜ρ k γ i λ k i x i = ˜ρ k λ k 1 γ 1 x 1 + γ i ( λ i
) k x i . (4.94)
λ 1
i=1
i=1
∣ ∣∣
Utilizând (4.88) obţinem ∣ λi
λ 1
< 1, i = 2 : n, de unde rezultă
şi
i=2
( ) k λi
lim = 0, i = 2 : n, (4.95)
k→∞ λ 1
lim
k→∞ y(k) = γx 1 , (4.96)
în care γ este un scalar nenul astfel încât ‖γx 1 ‖ = 1. Prin urmare, şirul vectorial
construit cu schema de calcul