Calculul valorilor si vectorilor proprii

232 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
unde S ii ∈ IR 1×1 sau S ii ∈ IR 2×2 şi toate blocurile diagonale 2×2 au valorile proprii
complexe. Avem, evident,
λ(A) = λ(S) =
p⋃
λ(S ii ). (4.83)
Matricea cvasi-superior triunghiulară S se numeşte forma Schur reală (FSR) a matricei
A, iar coloanele matricei de transformare Q se numesc vectori Schur ai matricei
A asociaţi formei Schur reale S.
Evident, ordinea paşilor de deflaţie fiind arbitrară, forma Schur reală a unei
matrice poate avea blocurile diagonale în orice ordine predeterminată.
Conform (4.83) valorile proprii reale ale unei matrice pot fi determinate prin
simplăinspecţieaelementelordiagonalealeformeisaleSchurreale,iarcelecomplexe
se pot calcula prin rezolvarea ecuaţiilor caracteristice (de gradul 2) ale blocurilor
diagonale ale acesteia.
Procedura de deflaţie sugerează o tehnică de calcul a valorilor proprii ale unei
matrice prin reducerea acesteia la forma Schur (reală). Din păcate, punerea în
evidenţă a fiecărei valori proprii necesită cunoaşterea unui vector propriu asociat,
care, la rândul său, nu poate fi calculat direct fără a cunoaşte valoarea proprie
respectivă. De aceea, procedura de deflaţie trebuie să fie completată cu o metodă
de calcul a unui vector propriu fără cunoaşterea valorii proprii asociate.
Metodelecelemaifolositedecalculiterativalunuivectorpropriusuntcunoscute
sub denumirile de metoda puterii şi metoda puterii inverse.
i=1
4.3 Metoda puterii. Metoda puterii inverse
În această secţiune vom prezenta două modalităţi de construcţie recurentă a unor
şiruri de vectori convergente, în condiţii precizate, către un vector propriu al unei
matrice date. Aceste metode se bazează pe următorul rezultat simplu, a cărui
demonstraţie face obiectul exerciţiului 4.11.
Lema 4.4 Fie o matrice A ∈ IC n×n cu spectrul
λ(A) = {λ 1 ,λ 2 ,...,λ n }. (4.84)
Atuncimatricele A k , k ∈ IN ∗ , A−µI n , µ ∈ IC, şi, în cazul în care A este nesingulară,
A −1 au aceiaşi vectori proprii cu matricea A şi spectrele
λ(A k ) = {λ k 1 ,λk 2 ,...,λk n }, (4.85)
λ(A−µI n ) = {λ 1 −µ,λ 2 −µ,...,λ n −µ}, (4.86)
{ } 1
λ(A −1 1 1
) = , ,..., .
λ 1 λ 2 λ n
(4.87)