Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 263
not
Considerăm şi aici, pentru simplificarea notaţiilor, H k = H matricea curentă a
not
şirului QR, presupusă ireductibilă, iar H k+2 = H ′ matricea succesor în varianta
cu utilizarea paşilor dubli. Urmând etapele din schema de calcul de mai sus avem
următoarele particularităţi.
1. Fără a reduce generalitatea, presupunem că matricea superior triunghiulară
not
R k R k+1 = ˘R este nesingulară. Atunci prima coloană a matricei de transformare
not
Q k Q k+1 = ˘Q este
⎡
˘q 1 = ˘Qe 1 = 1
˘r 11 ⎢
⎣
h 2 11 +h 12h 21 −sh 11 +p
h 21 (h 11 +h 22 −s)
h 21 h 32
0
.
.
0
⎤
, (4.151)
⎥
⎦
not not
unde s k = s şi p k = p sunt scalari reali definiţi în (4.133). Similar cu cazul pasului
simplu, numim ⎡
⎤
w = ⎣ h2 11 +h 12 h 21 −sh 11 +p
h 21 (h 11 +h 22 −s) ⎦ ∈ IR 3 (4.152)
h 21 h 32
vector de deplasare implicită aferent pasului dublu QR.
2. Matricea ortogonală U 1 de la instrucţiunea 2 a schemei de calcul de mai sus
poate fi un reflector (real) astfel calculat încât
U T 1 ˘q 1 = U 1˘q 1 = ±‖˘q 1 ‖e 1 . (4.153)
Datorită structurii vectorului ˘q 1 din (4.151), structura matricei U 1 este
[ ]
Û1 0
U 1 =
0 I n−3
(4.154)
cu Û1 ∈ IR 3×3 reflector elementar (real) de ordinul 3.
3. Datorită structurii (4.154) a matricei U 1 , alterarea formei Hessenberg prin
calculul matricei B de la instrucţiunea 3 are loc numai în poziţiile (3,1), (4,1) şi
(4,2).
4. Matricea B având numai trei elemente nenule ce alterează forma superior
Hessenberg,sporuldeeficienţăseobţineprinadaptareaalgoritmuluiHQrlaaceastă
situaţie structurală. Concret, se evită operaţiile de adunare şi înmulţire cu zerouri,
ţinându-se seama de următoarea structură
⎡ ⎤
I i−1 0 0
[ ]
U i = ⎣
In−2 0
0 Û i 0 ⎦, i = 2 : n−2, U n−1 = (4.155)
0 Û
0 0 I n−1
n−i−2
areflectorilorU i , i = 2 : n−1, utilizaţi în cadrulalgoritmuluiHQr, unde Ûi ∈ IR 3×3
şi Ûn−1 ∈ IR 2×2 sunt reflectori elementari de indice 1.
Schema de calcul este următoarea: