Calculul valorilor si vectorilor proprii

284 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
1. α = (s jj +s j+1,j+1 )/2
2. β = √ −(s jj −s j+1,j+1 ) 2 −4s j+1,j s j,j+1 /2
3. X(j +2 : n,j : j +1) = 0
4. x j,j = 1, x j+1,j = 0
5. Fie S 22 = S(j : j +1,j : j +1).
Se rezolvă sistemul nesingular de două ecuaţii
(S 22 −αI 2 )X(j : j +1,j +1) = βX(j : j +1,j)
6. Dacă j > 1 atunci
1. Fie S 11 [ = S(1:j−1,1:j−1), S 12 = S(1:j−1,j:j+1) ]
S11 −αI
şi F = j−1 βI j−1
.
−βI j−1 S 11 −αI j−1
Se[
rezolvă sistemul nesingular ] [
X(1 : j−1,j)
F
=
X(1 : j−1,j +1)
7. j ← j +2
4. Dacă j = n atunci
−S 12 X(j:j+1,j)
−S 12 X(j:j−1,j+1)
1. x jj = 1
2. Se rezolvă sistemul cvasisuperior triunghiular
(S(1:j−1,1:j−1)−s jj I j−1 )X(1:j−1,j) = −S(1:j−1,j)
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului este
X = VPS(S).
În cadrul algoritmului nu are loc o verificare a faptului că matricea S este în formă
Schur reală. De asemenea, utilizarea matricei vectorilor proprii X se poate face
numai în conjuncţie cu structura blocurilor diagonale ale matricei S, care trebuie
cunoscută pentru a putea forma vectorii proprii asociaţi valorilor proprii complex
conjugate.
✸
Calculul vectorilor proprii asociaţi valorilor proprii multiple ridică dificultăţi
similare celor evidenţiate în cazul matricelor triunghiulare (v. cap. 1). Într-o astfel
de situaţie, în algoritmul VPS, sistemele liniare ce se rezolvă devin singulare şi
trebuie luate măsuri speciale pentru a evita împărţirile cu 0 sau cu numere foarte
mici. O cale de urmat este utilizată în algoritmul de calcul al vectorilor proprii
pentru matrice triunghiulare prezentat în capitolul 1. O altă cale, utilizată, de
exemplu, în [X], înlocuieşte diferenţele λ i −λ j , apreciate ca fiind nule, cu ε M ‖S‖,
erorile introduse de o astfel de decizie fiind de nivelul erorilor de calcul. În orice
caz, calculul vectorilor proprii asociaţi valorilor proprii apropiate ridică probleme
datorită relei condiţionări a sistemelor liniare menţionate.
4.5.2 Calculul vectorilor proprii ai matricelor
superior Hessenberg
În cazul în care numărul vectorilor proprii care se calculează este inferior procentului
de 25%, în practica numerică s-a format convingerea că este mai avantajoasă
]