Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 405
suprascrierea(internăa)lui z realizându-secuapelul[z,c,s] = Gcm(z). Particularizarea
pentru date reale este propusă cititorului, aici mărginindu-ne să introducem
numai sintaxa de utilizare
[y,c,s] = Grm(z).
Rezultă următorul algoritm.
Algoritmul 5.3 (TZDc – Tratarea zerourilor diagonale) (Date
matricea superior bidiagonală J ∈ IC m×n cu m ≥ n, prin vectorii f şi g
al elementelor diagonale, respectiv supradiagonale, şi matricea unitară
U ∈ IC m×m , precum şi întregul i ∈ 1 : n − 1 ce indică poziţia ultimului
element diagonal nul, algoritmul calculează rotaţiile (complexe) P i,j ,
j = i+1 : n, astfel încât matricea J ← Pi,n H ...PH i,i+1J rămâne bidiagonală,
iar elementul g i devine nul. Calculele principale se efectuează
în locaţiile de memorie ale elementelor vectorilor f şi g. Opţional, se
actualizează matricea unitară de transformare U. Opţiunea se exprimă
cu ajutorul variabilei logice opt, care poate lua valorile ’da’ sau ’nu’.
Dacănusedoreşteactualizarea,matriceaU sereturneazănemodificată.)
1. τ = g i
2. g i = 0
3. Pentru j = i+1 : n
1. z = [τ f j ] T
2. [z,c,s] = Gcm(z)
3. f j = z 2
4. Dacă j < n atunci
1. τ = −sg j
2. g j ← cg j
5. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Pentru l = 1 : m
1. α = u li c−u lj¯s
2. u lj ← u li s+u lj c
3. u li = α.
Comentarii. În algoritmul de mai sus variabila scalară τ a fost utilizată pentru
memorarea elementului alterant temporar al structurii bidiagonale, iar variabila
auxiliară scalară α pentru calculul produsului U ← UP ij . Algoritmul nu verifică
faptul că f i = 0 sau că nu există j > i astfel ca f j = 0. Este clar faptul că dacă nu
sunt îndeplinite condiţiile din preambulul algoritmului, acesta nu realizează scopul
pentru care a fost elaborat.
Sintaxa de apel a algoritmului este, evident,
[f,g,U ] = TZDc(f,g,i,U,opt).
Complexitatea algoritmului este O(n−i) fără acumularea transformărilor şi O(mn)
cu acumulareaacestora. Se poate apreciacăalgoritmulare, îngeneral, o contribuţie
modestă la complexitatea algoritmului DVS.