Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 519
cazuri particulare de matrice normale, demonstraţia poate fi mai directă. De exemplu,
dacă matricea unitară Q este, e.g. superior triunghiulară, atunci inversa ei Q −1 = Q H
este simultan superior [ şi inferior ] triunghiulară, i.e. diagonală.
α β
P4.21 Fie A = . Din A T A = AA T rezultă β 2 = γ 2 . Dacă γ = β matricea
γ δ
este simetrică, iar dacă γ = −β rezultă δ = α.
P4.22 Fie A normală şi S = Q H AQ o formă Schur reală a lui A, în care, fără a reduce
generalitatea, putem presupune că valorile proprii reale (în număr de q) sunt situate în
primele q poziţii diagonale. Deci S este normală şi are structura
⎡
⎤
R A 1,q+1 ··· A 1p
A q+1,q+1 ··· A q+1,p
S = ⎢
⎣ . ..
. ⎥ .. ⎦ ,
A pp
cu R ∈ IR q×q superior triunghiulară. Din (S T S = SS T ) 11 rezultă R T R = RR T +
+ ∑ p
Bj, unde j=q+1 Bj = A1jAT 1j, j = q + 1 : p, sunt matrice simetrice, pozitiv semidefinite.
Cum însă tr(R T R) = tr(RR T ), rezultă ∑ p
trBj = 0. În continuare, din
j=q+1
faptul că λ i(B j) ≥ 0 pentru toţi i, rezultă trB j = ∑ λi(Bj) ≥ 0. Deci, trBj = 0 pentru
i
toţi j şi, prin urmare, λ i(B j) = 0 pentru toţi i şi j. Cum însă o matrice simetrică având
toate valorile proprii nule este nulă (demonstraţi!) B j = 0 şi, de aici, A 1j = 0 pentru toţi
j. Acum R T R = RR T , i.e. R este normală, şi cum este triunghiulară, este diagonală (v.
problema 4.20). În continuare se procedează similar. Din (S T S = SS T ) q+1,q+1 rezultă
A q+1,j = 0, j = q+2 : p şi că blocul 2 × 2 A q+1,q+1 este normal. Având valori proprii
complexe, conform problemei 4.21, are structura din teoremă etc. Reciproca este imediată.
P4.23 c) Fie B = 1 (A + 2 AH ) şi C = 1 (A − 2 AH ). Atunci A = B + C şi, conform
punctelor a), b), B este hermitică iar C este antihermitică. Presupunem că avem şi A =
= ˜B+ ˜C cu ˜B hermitică şi ˜C antihermitică. Atunci2B = A+A H = ˜B+ ˜C+ ˜B H + ˜C H = 2˜B.
Deci B = ˜B. Analog, 2C = A−A H = 2˜C, i.e. C = ˜C. Deci descompunerea este unică.
d) Se utilizează c) cu S = B şi T = −iC.
P4.24 Se utilizează relaţiile din definiţii.
P4.25 Se utilizează relaţiile din definiţii şi expresiile părţilor hermitică şi antihermitică
(v. soluţia problemei 4.23).
P4.26 Se consideră un set de n vectori liniar independenţi, e.g. ortogonali.
P4.27 Fie P o matrice de permutare. Întrucât P este unitară, A este normală (hermitică,
antihermitică, simetrică, antisimetrică) dacă şi numai dacă la fel este şi matricea
C = P T AP. Putem alege P astfel încât B = C(1 : k,1 : k). a) Evident. b) Nu. De
[ ] 6 3 1
exemplu, matricea A = 1 3 3 este normală, dar B = A(1:2,1:2) nu este.
3 −1 3
P4.28 Conform teoremei 4.3, λ min(A) ≤ µ ≤ λ max(A).
P4.29 Dacă B = Q H AQ ∈ IC p×p , unde Q H Q = I p, atunci aplicând matricei B teorema
Courant-Fisher avem µ k = max dimV=k min x∈VS x H Q H AQx, unde V S este mulţimea
vectorilor de normă euclidiană unitară din subspaţiul V ⊂ IC p . Acum, este uşor de constatat
că Ṽ = {y ∈ IC n | y = Qx, x ∈ V} este un subspaţiu liniar al lui IC n , de aceeaşi
dimensiune cu dimensiunea lui V (i.e. k) şi că mulţimea tuturor subspaţiilor Ṽ este
numai o parte a mulţimii tuturor subspaţiilor de dimensiune k din IC n . Prin urmare,
λ k = max dim Ṽ=k min x∈ṼS xH Ax ≥ µ k . Pentru cel de al doilea set de inegalităţi se utilizează
cealaltă caracterizare minimax a valorilor proprii din teorema Courant-Fisher.