Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 417
problema determinării rangului rămâne fără obiect. De aceea, pentru aplicaţii, este
necesară o modalitate coerentă de apreciere a valorilor singulare neglijabile. Rangul
rezultat după deciziile de neglijare, în conformitate cu criterii bine precizate,
a valorilor singulare ”mici” va fi numit ”rangul numeric” al matricei iniţiale. Mai
precis avem următoarea definiţie.
Definiţia 5.6 Fie A ∈ IC m×n şi A = UΣV H DVS a matricei A. Rangul numeric
al matricei A pentru o toleranţa ǫ fixată este definit de
˜r = rang(A,ǫ) =
min
‖A−X‖ ≤ ǫ
X ∈ IC m×n rangX, (5.119)
i.e. este cel mai mic dintre rangurile tuturor matricelor de aceleaşi dimensiuni aflate
la o distanţă – definită de norma spectrală – de matricea A mai mică decât toleranţa
admisă 25 .
DVS este un mijloc extrem de sigur de determinare a rangului numeric în sensul
definiţiei de mai sus. În sprijinul acestei afirmaţii avem următoarea teoremă.
Teorema 5.14 Dacă A = UΣV H este DVS a matricei A ∈ IC m×n , k < r = rangA
şi
k∑
def
A k = σ j u j vj H , (5.120)
atunci
j=1
min ‖A−X‖ = ‖A−A k ‖ = σ k+1 . (5.121)
rangX = k
X ∈ IC m×n
Demonstraţie. Precizăm mai întâi faptul că, atât în enunţul teoremei cât şi
în cele ce urmează, utilizăm în exclusivitate norma spectrală. Din (5.120) rezultă
∑
U H A k V = diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ k ,0,...,0), de unde rangA k = k. Rezultă A − A k =
r
j=k+1 σ ju j vj H, deundeavemUH (A−A k )V = diag(0,...,0,σ k+1 ,...,σ r ,0,...,0)
şi, prin urmare, ‖A−A k ‖ = σ k+1 .
Fie acum o matrice m × n (complexă) X de rang k, altfel arbitrară. Fie, de
asemenea, subspaţiile liniare ¯X = KerX, ¯V = ImV(:,1:k+1) şi W = ¯X ⋂ ¯V din
IC n . Întrucât dim ¯X = n − k şi dim¯V = k + 1 avem dimW ≥ 1. Există deci un
vector unitar w ∈ W. Avem pe de o parte Xw = 0, iar pe de altă parte există
z ∈ IC k+1 cu ‖z‖ 2 = 1 astfel încât w = V(:,1 : k+1)z = ∑ k+1
i=1 z iv i . Obţinem
Aw = ∑ k+1
i=1 z iAv i = ∑ k+1
i=1 z iσ i u i . Rezultă
‖A−X‖ def
= max ‖(A−X)x‖ ≥ ‖(A−X)w‖ = ‖Aw‖ = √ k+1 ∑
|z i | 2 σi 2.
‖x‖ = 1
i=1
25 În ceea ce priveşte nivelul toleranţelor practicate, acesta depinde de contextul aplicativ. De
exemplu, dacă matricea provine din date experimentale cu un nivel cunoscut al erorilor de măsură,
atunci nu are nici un sens ca ǫ să fie inferior acestui nivel. Dacă matricea iniţială se consideră
exactă, atunci se recomandă ǫ ≈ ε M ‖A‖, unde ε M este epsilon maşină al formatului virgulă mobilă
al maşinii pe care se efectuează calculele.