Calculul valorilor si vectorilor proprii

464 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Dacă matricea T are mai multe zerouri diagonale, acestea pot fi deplasate succesiv
în colţul din dreapta jos al lui T prin aplicarea repetată a schemei de calcul
DZ-k,n adaptate la necesităţile curente în forma DZ-i,j . Procedura este
următoarea 13 .
DZ
% Deplasarea zerourilor diagonale ale matricei T în colţul din dreapta jos
1. i = n, j = n
2. C^at timp i > 0
1. Dacă T(i,i) = 0 atunci
1. Execută DZ-i,j
2. j ← j −1
3. i ← j −1
altfel
1. i ← i−1
Dupăexecuţiaproceduriidemaisusperechea(H,T)transformatăvaaveastructura
(6.43). Fascicolul iniţial este regulat dacă şi numai dacă H 22 este nesingulară.
Într-un astfel de caz, numărul valorilor proprii generalizate infinite este dat de ordinul
blocurilor H 22 şi T 22 .
Prezentăm algoritmul care implementează schema de calcul DZ .
Algoritmul 6.2 (DZc – Deplasarea zerourilor diagonale.)
(Date o pereche (H,T) ∈ IC n×n × IC n×n în formă Hessenberg generalizată
şi matricele unitare Q,Z ∈ IC n×n , algoritmul suprascrie perechea
(H,T) cu o pereche echivalentă, tot în formă Hessenberg generalizată,
dar având toate zerourile diagonale ale matricei T situate în colţul din
dreapta jos. Opţional, se actualizează matricele unitare de transformare
Q,Z ∈ IC n×n . Opţiunea se exprimă prin intermediul unei variabile logice
opt de tipul şir de caractere ce poate lua valorile ′ da ′ sau ′ nu ′ . Dacă
opt = ′ nu ′ , algoritmul returnează matricele Q şi Z nemodificate.)
1. i = n, j = n
2. C^at timp i > 0
1. Dacă T(i,i) = 0 atunci
1. Dacă i < j atunci
1. Pentru l = i+1 : j
1. [T(l−1:l,l),c,s]= Gc(T(l−1:l,l))
2. k = max(l−2,1)
3. H(l−1:l,k:n) = Gcs(c,s,H(l−1:l,k:n))
4. Dacă l < n atunci
T(l−1:l,l+1: n) = Gcs(c,s,T(l−1:l,l+1:n))
13 După deplasarea unui zero diagonal în ultima poziţie diagonală curentă este posibil ca structura
zerourilor diagonale ”încă nedeplasate” să se modifice, e.g. numărul lor să scadă. De aceeea
după deplasarea tuturor zerourilor diagonale în colţul din dreapta jos este posibil ca numărul lor
să fie diferit de numărul iniţial al zerourilor diagonale ale matricei T. De asemenea, aşa cum s-a
precizat, pentru aspectele specifice ale tratării zerourilor din poziţiile diagonale terminale, cititorul
este invitat să consulte algoritmul formal.