Calculul valorilor si vectorilor proprii

296 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
3. [S,Q] = Pr(S,Q,lcbl(j),strbl(j),strbl(j +1),tol)
4. i j ↔ i j+1
5. strbl(j) ↔ strbl(j +1)
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului de mai sus este
[S,Q] = FSR ORD(S,Q,p,strbl,π,tol).
La fel ca în cazul complex, volumul de calcul necesar pentru ordonare este dictat
esenţial de natura permutării. În cazul cel mai defavorabil, când permutarea este o
inversiune şi toate blocurile sunt 2×2, se efectuează 1 2p(p+1) permutări de blocuri
2×2 adiacente care conduc la o complexitate de O(n 3 ).
Încazul încaresepreferăutilizareapermutăriiinverseσ = π −1 = {j 1 ,j 2 ,...,j p }
se poate utiliza o schemă de calcul FSR ORD −1 , similară cu FSC ORD −1 ,
prezentată în comentariile la algoritmul 4.16.
Şi aici, dacă se urmăreşte exclusiv construcţia unei baze unitare pentru un
subspaţiu A-invariant asociat unui set simetric de valori proprii definite de k blocuri
diagonale (k < p), este suficientă o ordonare parţială. Adaptarea algoritmului la
aceastăsituaţie este similarăcu ceadin cazul complex (vezi schema FSC ORD p ),
şi este propusă ca exerciţiu cititorului.
✸
4.7 Forma bloc-diagonală
Forma Schur S a unei matrice reale sau complexe A, împreună cu matricea ortogonală
sau unitară Q utilizată pentru obţinerea acesteia, joacă un rol fundamental
în rezolvarea multor probleme concrete care au o legătură mai mult sau mai puţin
directă cu conceptele de valori şi vectori proprii. Există însă şi probleme 36 în care
este necesară o descompunere suplimentară a formei Schur, descompunere care să
ofere informaţii structurale cu semnificaţie mai profundă.
Precizăm, de la început, că transformările de asemănare unitare (ortogonale, în
cazul real) şi-au epuizat potenţele în evidenţierea formei Schur (ordonate) şi orice
alte transformări structurale suplimentare, cu conservarea spectrului, fac apel, în
mod necesar, la transformări de asemănare neunitare (neortogonale).
Posibilităţile de construcţie a aşa numitei forme bloc-diagonale a unei matrice
pătrate sunt intim conexatecu existenţa şi calculul soluţiilor unorecuaţii matriceale
Sylvester asociate. De aceea, consacrăm paragraful următor acestei probleme.
4.7.1 Ecuaţia matriceală Sylvester
Considerăm date matricele A ∈ IC m×m , B ∈ IC n×n şi C ∈ IC m×n . Ecuaţia matriceală
liniară
AX −XB = C, (4.203)
36 Amintim, în acest sens, problemele de descompunere spectrală a sistemelor dinamice liniare
în care se urmăreşte obţinerea unor submatrice ”decuplate” cu spectre având proprietăţi specifice.
De asemenea, forma bloc diagonală este utilă în calculul funcţiilor de matrice.