Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.13. PROBLEME 361
P 4.8 Fie λ 1, λ 2 două valori proprii distincte ale unei matrice A ∈ IC n×n şi x 1 un vector
propriu la dreapta asociat lui λ 1, iar y 2 un vector propriu la stânga asociat lui λ 2. Arătaţi
că cei doi vectori sunt ortogonali, i.e. y H 2 x 1 = 0.
P 4.9 Dacăλ ∈ λ(A), este ovaloare propriesimplă aunei matrice A ∈ IC n×n şi x, respectiv
y, sunt vectori proprii la dreapta, respectiv la stânga, asociaţi lui λ, atunci y H x ≠ 0. Daţi
un exemplu în care această condiţie nu este satisfăcută dacă λ nu este o valoare proprie
simplă.
P 4.10 Se consideră o matrice A ∈ IC n×n diagonalizabilă. Arătaţi că există vectorii
proprii (la dreapta) x i, i = 1 : n, şi vectorii proprii la stânga y i, i = 1 : n, astfel încât
A = ∑ n
i=1 λixiyH i .
P 4.11 Să se demostreze lema 4.4.
P 4.12 Fie date o matrice A ∈ IC n×n şi un polinom p(λ) = λ n +p 1λ n−1 +...+p n−1λ+p n.
Considerăm matricea
P def
= p(A) = A n +p 1A n−1 +...+p n−1A+p nI n.
Să se arate că dacă λ i ∈ λ(A), atunci p(λ i) ∈ λ(P) şi dacă x i este un vector propriu al
matricei A, asociat valorii proprii λ i, atunci el este şi vector propriu al matricei P asociat
valorii proprii p(λ i).
P 4.13 Fie date o matrice A ∈ IC n×n şi o funcţie raţională r(λ) = p(λ) . Definim matricele
q(λ)
P def
= p(A), Q def
= q(A) şi, dacă Q este nesingulară, R def
= Q −1 P. Arătaţi că dacă λ i ∈ λ(A)
şi x i este un vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ i, atunci r(λ i) ∈ λ(R),
iar x i este şi vector propriu al matricei R asociat valorii proprii r(λ i).
P 4.14 Fie omatricenesingulară A ∈ IC n×n . Dacă‖·‖este onormămatriceală consistentă,
arătaţi că numărul de condiţionare la inversare κ(A) def
= ‖A‖·‖A −1 ‖ satisface inegalitatea
κ(A) ≥ max(|λi(A)|)
min(|λ i(A)|) .
P 4.15 a) O matrice patrată A se numeşte nilpotentă dacă există un număr natural k
astfel încât A k = 0. Arătaţi că o matrice nilpotentă are toate valorile proprii nule. Daţi un
exemplu de matrice nilpotentă nenulă. b) O matrice A ∈ IC n×n se numeşte idempotentă
dacă A 2 = A. Arătaţi că o matrice idempotentă nu poate avea alte valori proprii în afară
de 0 şi 1. Daţi un exemplu de matrice idempotentă nenulă şi diferită de matricea unitate.
P 4.16 a) Câţi vectori proprii (la dreapta) liniar independenţi poate avea o celulă Jordan
⎡ ⎤
λ 1
λ 1
J λ = ⎢
⎣ .
⎥ .. 1
⎦
de ordinul n Dar la stânga b) Arătaţi că o celulă Jordan
λ
de ordin n ≥ 2 nu poate fi diagonalizată prin transformări de asemănare. c) Calculaţi
expresia analitică a matricei Jλ k unde J λ este o celulă Jordan de ordin n cu elementele
diagonale egale cu λ. Există k ∈ IN ∗ astfel încât Jλ k să fie diagonalizabilă d) Calculaţi
expresia analitică a matricei J −1
λ
, unde λ ≠ 0. Este J−1
λ
diagonalizabilă