Calculul valorilor si vectorilor proprii

476 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Dacă µ 1 ,µ 2 ∉ λ(G), i.e. matricea M = (G − µ 1 I n )(G − µ 2 I n ) = G 2 − σG + πI n
not
este nesingulară, atunci prima coloană a matricei de transformare Q k = Q (încă
un exerciţiu pentru cititor) este
⎡
h 11
( h 11
− h 21t 12
−σ)+ h ⎤
21h 12
+π
t 11 t 11 t 11 t 22 t 11 t 22 h 21
( h 11
+ h 22
− h 21t 12
−σ)
t 11 t 11 t 22 t 11 t 22 q 1 = Qe 1 = ρ
h 21 h 32
, (6.62)
t 11 t 22
0
⎢
⎥
⎣ . ⎦
0
unde ρ este un factor real de normare. Elementele nenule w = q 1 (1 : 3)/ρ ale lui
q 1 /ρ, i.e. ⎡
h 11
( h 11
− h 21t 12
−σ)+ h ⎤
21h 12
+π
t 11 t 11 t 11 t 22 t 11 t 22 h 21
w =
( h 11
+ h 22
− h 21t 12
−σ)
, (6.63)
t
⎢ 11 t 11 t 22 t 11 t 22 ⎥
⎣ h 21 h 32
⎦
t 11 t 22
definesc vectorul de deplasare implicită asociat pasului dublu QZ.
2. Matricea ortogonală U de la instrucţiunea 2 a schemei de calcul de mai sus
este, cel mai recomandat, un reflector (real) având structura
[ ]
Ũ 0
U = , (6.64)
0 I n−3
cu Ũ ∈ IR3×3 reflectorul care asigură
Ũw = νe 1 , ν ∈ IR. (6.65)
3. Se constată şi aici imediat că aplicarea transformării de asemănare de la
punctul 3 al schemei de calcul de mai sus este echivalentă cu aplicarea transformării
U = U T ambelor matrice din perechea (H,T). Într-adevăr, dacă ( ˜H, ˜T) =
= (U T H,U T T), atunci ˜H ˜T−1 = U T HT −1 U = U T GU = ˜G. Alterarea structurii
superior Hessenberg a matricei G în poziţiile (3,1), (4,1), (4,2) se transferă în alterarea
structurală a perechii (H,T). Concret, datorită structurii (6.64) a lui U,
structura matricei ˜H va diferi de o structură superior Hessenberg prin elementul
nenul din poziţia (3,1) iar structura matricei ˜T va diferi de o structură superior
triunghiulară prin elementele nenule din poziţiile (2,1), (3,1) şi (3,2).
4. Restaurarea structurii Hessenberg generalizate a perechii ( ˜H, ˜T) printr-o
transformareortogonalădeechivalenţăpoatefiasimilatăcurefacereaformeiHessenberg
a matricei ˜G. Motivaţia este aceeaşi cu cea de la iteraţia QZ complexă. Concret,
readucerea perechii alterate la forma Hessenberg generalizată se face cu algoritmul
HTQZ adaptat, pentru asigurareaeficienţei necesare, la situaţia structurală