Calculul valorilor si vectorilor proprii

220 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Demonstraţie. Fie V un subspaţiu arbitrar de dimensiune k şi v j , j = 1 : k, o bază
a lui V. Fie, de asemenea, w j , j = 1 : n−k, o bază a lui W. Notăm cu V ∈ IC k ,
respectiv W ∈ IC n−k , matricele vectorilor care formează bazele celor două subspaţii
complementare. Conform teoremei precedente
λ n ≤ x H Ax ≤ λ 1 (4.34)
pentru toţi x din S, i.e. funcţia µ este mărginită pe compactul V S şi, în consecinţă,
îşi atinge marginile pe această mulţime. La fel ca în demonstraţia teoremei precedente,
fie y = Q H x, unde Q este o matrice unitară de vectori proprii, ordonaţi
conform (4.26). Avem, evident, ‖y‖ = ‖x‖ şi x = Qy ∈ V dacă şi numai dacă este
ortogonal pe W, i.e.
W H x = W H Qy = 0. (4.35)
[ ]
Întrucât W este monică, factorizarea QR a matricei ˜W = Q H W = ˜Q R
are
0
matriceasuperior triunghiularăR ∈ IC (n−k)×(n−k) nesingulară. În consecinţă, (4.35)
devine [
R H 0 ] ˜QH y = 0. (4.36)
Notând z def
= ˜Q H y relaţia (4.36) impune z(1 : n−k) = 0. Notând, încă o dată,
u def
= z(n−k +1 : n) ∈ IC k şi ţinând seama de faptul că transformările unitare
conservă norma euclidiană, din (4.35), (4.36) rezultă că x = Qy = Q˜Qz = ˆQu, unde
ˆQ = Q˜Q(:,n−k+1 : n), aparţine mulţimii V S dacă şi numai dacă ‖u‖ = 1, fără
nici o altă restricţie asupra lui u. Acum, putem alege u astfel încât y(1 : k−1) = 0.
Într-adevăr, y = ˜Q(:,n−k+1: n)u şi orice soluţie normată(i.e. de normă euclidiană
unitară)asistemuluisubdeterminat ˆQ(1 : k−1,,n−k+1 : n)u = 0asigurăsatisfacerea
acestei condiţii. Cu această alegere a lui u, pentru vectorul corespunzător x din V S ,
avem
n∑
µ(x) = x H Ax = y H Λy = λ k − (λ k −λ j )|y (j) | 2 ≤ λ k , (4.37)
j=k+1
unde am ţinut seama de faptul că ∑ n
j=k |y(j) | 2 = ‖y‖ 2 = 1 şi de ordonarea descrescătoare
a valorilor proprii. Natural, din (4.37) rezultă
min x H Ax ≤ λ k (4.38)
x ∈ V S
şi, cum subspaţiul V, de dimensiune k, era arbitrar, inegalitatea (4.38) are loc în
toate subspaţiile de aceeaşi dimensiune sau, altfel spus,
max
dimV = k
min x H Ax ≤ λ k . (4.39)
x ∈ V S
Rămâne să arătăm că această margine este atinsă efectiv. Aceasta se întâmplă în
subspaţiul A-invariant asociat primelor k valori proprii din secvenţa (4.26). Întradevăr,
fie V = ImQ ′ k şi x = Q′ k z cu ‖z‖ = 1. Rezultă ‖x‖ = 1, i.e. x ∈ V S şi
k−1
∑
µ(x) = x H Ax = (λ j −λ k )|z (j) | 2 +λ k ≥ λ k , (4.40)
j=1