Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 503
P1.14 L 2 are prima supradiagonală nulă, L 3 primele două etc.
P1.15 Notând C = AB, avem c ij = ∑ n
a k=1 ikb kj . a ik şi b kj pot fi simultan nenule
dacă mulţimile i − p : i + p şi j − q : j + q au cel puţin un element comun, adică dacă
i+p > j −q sau i−p < j +q, ceea ce e echivalent cu |i−j| < p+q, deci C este matrice
bandă de lăţime p+q.
P1.16 Indicaţie: rezultatul este o matrice nestructurată.
P1.17 Ordinea de calcul va fi: Pentru i = n : −1 : 1, Pentru j = 1 : i. Sau: Pentru
j = 1 : n, Pentru i = n : −1 : j.
P1.18 Pentru matrice ortogonale, în general, nu.
P1.19 Se adaptează algoritmul 1.20 la cazul matricelor superior triunghiulare, iar în
instrucţiunea 1.4, în loc de UTRIS se apelează algoritmul de rezolvare de sisteme liniare.
P1.20 O simplă substituţie este suficientă. Pentru deducerea expresiei lui N(n) se
presupune N(n) = αn log7 + βn 2 ; coeficienţii α şi β se calculează prin identificare cu
(1.38). Mai multe despre rezolvarea recurenţelor în [2].
P1.21 A fiind ortogonal diagonalizabilă, există U ortogonală astfel încât U T ΛU = A.
Elementele diagonale ale lui Λ sunt pozitiv definite (vezi şi problema 1.30); fie D matricea
diagonală cu d ii = √ λ i şi Q = U T DU, matrice simetrică (şi pozitiv definită); din motive
evidente, se notează Q = √ A.
Demonstraţia inegalităţii ‖x+y‖ A ≤ ‖x‖ A‖y‖ A se reduce la |x T Ay| ≤ ‖x‖ A‖y‖ A, care
este inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz, pentru vectorii Qx şi Qy.
P1.22 Dacă A e singulară, atunci există x ≠ 0 astfel încât Ax = 0 şi deci x T Ax = 0,
deci A nu e pozitiv definită; deci A e inversabilă. În plus, ImA = IRn , deci orice y ∈ IR n ,
există x ∈ IR n astfel încât y = Ax; atunci x T Ax = y T A −1 y > 0, deci A −1 > 0.
P1.23 b. Fie A = [a 1 a 2 ... a n] ortogonală şi superior triunghiulară. Atunci, pentru
prima coloană avem a 1 = ±e 1 şi 0 = a T 1a j = ±a 1j, pentru j > 1, etc. (Altfel: A T este
inferior triunghiulară, iar A −1 este superior triunghiulară; cum ele sunt egale, A T este
diagonală, deci şi A.)
c. Fie A superior triunghiulară. Atunci, din AA T = A T A, pentru elementul (1,1)
obţinem ∑ n
j=1 a2 1j = a 2 11, deci toate elementele extradiagonale din prima linie sunt nule
etc.
P1.24 b. Adaptăm algoritmul LTRIS, de exemplu versiunea pe linii. Singura modificare
e în instrucţiunea 2.1.
1. x ← b
2. Pentru i = 1 : n
1. Pentru j = max(1,i−p) : i−1
1. x i ← x i −l ijx j
2. x i ← x i/l ii
P1.25 Pentru L inferior bidiagonală, inversa X este inferior triunghiulară.
1. Pentru j = 1 : n
1. x jj ← 1/l jj
2. Pentru i = j +1 : n
1. x ij ← −l i,i−1x i−1,j/l ii
P1.26 Varianta cu DOT este imediată din algoritmul 1.16 LINV.
Pentru varianta cu Saxpy, e necesară o nouă formă a algoritmului, în care, o dată
calculată o necunoscută x k , se actualizează toate sumele (1.44) pentru i > k.
1. Pentru k = 1 : n
1. x k ← b k /l kk