Calculul valorilor si vectorilor proprii

238 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
având valorile proprii (exacte)
λ 1 = 3, λ 2,3 = −1±i, λ 4 = 1.
Un vector propriu exact asociat valorii proprii dominante λ 1 = 3 şi, respectiv,
vectorul propriu normat calculat pe baza valorii exacte sunt (verificaţi!)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
999
0.94288089928893
x 1 = ⎢ 333
⎥
⎣ 111 ⎦ , ˜x 1 = x 1
‖x 1 ‖ = ⎢ 0.31429363309631
⎥
⎣ 0.10476454436544 ⎦ .
37
0.03492151478848
Evoluţia erorii curente e k din (4.97) şi a aproximaţiei curente λ 1k a valorii proprii
dominante, calculate cu metoda puterii şi metoda puterii inverse în variantele algoritmice
4.1 şi 4.2, sunt prezentate în tabelul 4.1, unde au fost utilizate iniţializarea
y (0) = [1 0 0 0] T pentru vectorul propriu şi toleranţa de 1.0×10 −15 . Se verifică
faptul că, în aceleaşi condiţii iniţiale, convergenţa metodei puterii inverse este mult
mai rapidă. Mai mult, valoarea proprie şi vectorul propriu asociat (vezi tabelul
4.2), calculate în aceleaşi condiţii de oprire a iterării (i.e. cu aceeaşi toleranţă) sunt
y (23) =
Metoda puterii
⎡
⎢
⎣
0.94288089793487
0.31429363608802
0.10476454880574
0.03492151110188
⎤
⎥
⎦ y (5) =
Metoda puterii inverse
⎡
⎢
⎣
0.94288089928893
0.31429363309631
0.10476454436544
0.03492151478848
⎤
⎥
⎦
Tabelul 4.2: Vectorii proprii calculaţi pentru datele din exemplul 4.3.
sensibil mai precise în cazul metodei puterii inverse (nu se constată nici o diferenţă
în cele 15 cifre semnificative utilizate la afişare faţă de valoarea considerată exactă).
✸
În conformitate cu cele prezentate în această secţiune, problema calculului valorilor
şi vectorilor proprii 13 se poate rezolva astfel:
1. Se calculează un vector propriu, utilizând metoda puterii sau metoda
puterii inverse.
2. Se calculează valoarea proprie asociată, utilizând câtul Rayleigh.
3. Se aplică procedura de deflaţie, punând în evidenţă valoarea proprie
calculată şi reducând dimensiunea problemei.
4. Dacă nu s-au calculat toate valorile proprii se revine la pasul 1.
Această procedură este elegant exprimată, într-o formă implicită, în cadrul unui
algoritm performant, cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de algoritmul
QR.
13 În cadrul procedurii de deflaţie, este vorba de vectorii proprii ai matricei (reduse) curente
care, de la al doilea pas, nu mai sunt vectori proprii ai matricei iniţiale. Totuşi aceşti vectori
proprii pot servi, ulterior, la calculul vectorilor proprii ai matricei iniţiale (vezi exerciţiul 4.49).