Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 211
În acest context, vectorii proprii la stânga sunt vectorii nenuli y ∈ IC n ce satisfac
condiţia
y H A = λy H , (4.7)
unde H reprezintă operatorul cumulat de transpunere şi conjugare. Aplicând operatorul
H relaţiei (4.7) obţinem
A H y = ¯λy, (4.8)
i.e. vectorii proprii la stânga ai matricei A asociaţi valorii proprii λ sunt vectori
proprii (la dreapta) ai matricei A H asociaţi valorii proprii ¯λ ∈ λ(A H ). De aici
rezultă
λ(A H ) = ¯λ(A), (4.9)
adică valorile proprii ale matricei A H sunt conjugatele valorilor proprii ale matricei
A.
Întrucât det(λI n − A) = det(λI n − A T ) matricele A şi A T au acelaşi polinom
caracteristic şi, deci, aceleaşi valori proprii dar vectorii proprii, în general, diferă.
Cum un vector propriu y al matricei A T asociat valorii proprii λ satisface A T y = λy
sau y T A = λy T vectorii proprii reali ai matricei A T sunt vectori proprii la stânga
ai matricei A.
Dacă x i este un vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ i , vectorul
y i = αx i este, de asemenea, un vector propriu al matricei A asociat aceleiaşi valori
proprii λ i , oricare ar fi α ∈ IC, α ≠ 0. Mai mult, este clar că mulţimea vectorilor
proprii asociaţi unei valori proprii λ i împreună cu vectorul nul din IC n formează
subspaţiul liniar V i = Ker(λ i I n −A) ⊂ IC n numit subspaţiul propriu asociat valorii
proprii λ i . Dimensiunea ν i = dimV i a subspaţiului propriu, i.e. numărul de vectori
proprii liniar independenţi asociaţi lui λ i , se numeşte multiplicitate geometrică a
valorii proprii λ i . Este evident că
ν i ≤ n i . (4.10)
4.1.2 Subspaţii invariante
Subspaţiile proprii sunt subspaţii A-invariante în sensul definiţiei următoare
(v. şi §1.10).
Definiţia 4.2 Fie o matrice A ∈ IC n×n . Un subspaţiu liniar V ⊂ IC n se numeşte
subspaţiu invariant al matricei A sau, pe scurt, subspaţiu A-invariant dacă
AV ⊂ V i.e. Ax ∈ V, ∀x ∈ V. (4.11)
Cum IR n ⊂ IC n , pot exista subspaţii A-invariante în IR n pentru matrice A complexe.
De asemenea, pentru matrice A reale pot exista subspaţii A-invariante care nu sunt
în IR n . Dintre proprietăţile subspaţiilor A-invariante amintim următoarele.