Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 457
⎡
(A,B) ← (AZ (1)
34 ,BZ(1) 34 ) = ( ⎢
⎣
× ×
× ×
× ×
0 ×
× ×
× ×
× ×
× ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× ×
0 ×
0 0
0 0
× ×
× ×
× ×
∅ ×
⎤
⎥
⎦ ),
(A,B) ← ((Q (1)
23 )H A,(Q (1)
23 )H B) = ( ⎢
⎣
⎡
× × × ×
× × × ×
∅ × × ×
0 × × ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× × × ×
0 × × ×
0 + × ×
0 0 0 ×
⎤
⎥
⎦ ),
⎡
(A,B) ← (AZ (1)
23 ,BZ(1) 23 ) = ( ⎢
⎣
×
×
0
0
× ×
× ×
× ×
× ×
×
×
×
×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
×
0
0
0
× ×
× ×
∅ ×
0 0
×
×
×
×
⎤
⎥
⎦ ).
Cumulând transformările din acest exemplu se obţine
(A,B) ← ((Q (1)
23 )H (Q (1)
34 )H AZ (1)
34 Z(1) 23 ,(Q(1) 23 )H (Q (1)
34 )H BZ (1)
34 Z(1) 23 ) def
=
def
= ((Q (1) ) H AZ (1) ,(Q (1) ) H BZ (1) ).
Prin urmare, schema de calcul de mai sus produce matricele
A ← A (1) = (Q (1)
23 )H ···(Q (1)
n−2,n−1 )H (Q (1)
n−1,n )H AZ (1)
n−1,n Z(1) n−2,n−1···Z(1)
def
23 =
def
= (Q (1) ) H AZ (1) , (6.31)
B ← B (1) = (Q (1)
23 )H ···(Q (1)
n−2,n−1 )H (Q (1)
n−1,n )H BZ (1)
n−1,n Z(1) n−2,n−1···Z(1)
def
23 =
def
= (Q (1) ) H BZ (1) , (6.32)
cu A (1) (3:n,1) = 0 şi B (1) superior triunghiulară, realizându-se astfel obiectivul
pasului 1. Evident, matricele unitare de transformare
Q (1) def
= Q (1)
n−1,n Q(1) n−2,n−1···Q(1) 23 , Z(1) def
= Z (1)
n−1,n Z(1) n−2,n−1···Z(1) 23 (6.33)
cumulează cele două secvenţe de rotaţii utilizate la pasul 1.
Pasul k ◦ . Presupunem că în cadrul primilor k − 1 paşi am obţinut o pereche
(A (k−1) ,B (k−1) ) – ce suprascrie (A,B) – cu A (k−1) având o structură superior
Hessenberg în primele k −1 coloane şi B (k−1) superior triunghiulară:
A ← A (k−1) def
= (Q (k−1) ) H ···(Q (2) ) H (Q (1) ) H AZ (1) Z (2)···Z (k−1) , (6.34)
B ← B (k−1) def
= (Q (k−1) ) H ···(Q (2) ) H (Q (1) ) H BZ (1) Z (2)···Z (k−1) . (6.35)
Este uşor de văzut că adaptând schema de calcul de la pasul 1, i.e. efectuând