Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 345
constată imediat că ˜s λ = |ỹ H˜x| = |y H x| = s λ , i.e. numerele de condiţionare ale
valorilor proprii simple sunt invariante la transformări unitare de asemănare.
[ ]
λ1 β
Exemplul 4.9 Fie A = ∈ IR 2×2 , cu λ
0 λ 1 ≠ λ 2 . Atunci este uşor de
2
constatat că
|λ 1 −λ 2 |
s λ1 = s λ2 = √
β2 +(λ 1 −λ 2 ) 2,
respectiv,
κ λ1 = κ λ2 =
√
1+
β 2
(λ 1 −λ 2 ) 2.
|β|
Dacă |β| ≫ |λ 1 −λ 2 |, atunci κ λ1 = κ λ2 ≈
|λ 1 −λ 2 | .
[ ]
0.1 100
În cazul numeric A = , avem κ
0 0.2
λ1 = κ λ2 ≈ 10 3 . Valorile proprii ale
[ ]
[ ]
0.1 100
0 0
matricei perturbate F = A+ǫG =
10 −6 , unde ǫ = 10
0.2
−6 şi G =
1 0
(cu ‖G‖ = 1), sunt ˆλ 1 = 0.0990098 şi ˆλ 2 = 0.2009902, i.e. o perturbare cu numai
10 −6 a unui singur element al matricei iniţiale are ca efect modificări de ordinul a
10 −3 ale celor două valori proprii, deci de aproximativ κ ≈ 1000 mai mari.
Expresia de mai sus a numerelor de condiţionare sugerează o justificare a faptului,
afirmat deja, că valorile proprii multiple au o condiţionare mai rea decât valorile
proprii simple.
✸
Atragem atenţia asupra faptului că, deşi exemplul de mai sus arată că sensibilitatea
unei valori proprii poate fi influenţată decisiv de ”distanţa” de la ea pâna la
restul spectrului, există situaţii de valoriproprii ”bine separate”de restul spectrului
şi, înacelaşitimp, foarterăucondiţionate. Exemplecelebreînacestsensfacobiectul
exerciţiilor 4.69 şi 4.70.
Numereleκ λi (saus λi )definesccondiţionareavalorilorpropriiλ i aleuneimatrice
înraportcuvariaţiimicidararbitrarealetuturorelementelormatricei,i.e. înraport
cu perturbaţii nestructurate. Desigur, putem să formulăm problema condiţionării
valorilorproprii înraportcu variaţia unui anumit element (v. exerciţiul 4.68)sau cu
variaţiile elementelor dintr-un grup precizat structural (perturbaţii structurate). În
continuare ne vom îndrepta însă atenţia într-o direcţie considerată mai importantă
în aplicaţii şi anume a exprimăriisintetice a condiţionării unui grup de valoriproprii
sau a întregului spectru în raport cu perturbaţii nestructurate. În acest scop pot
fi utilizate teoremele de localizare a spectrului de valori proprii în planul complex
(dintre care amintim teorema lui Gershgorin, vezi teorema 4.11, §4.1). O altă
cale este de a defini condiţionarea întregului spectru printr-o normă a vectorului
condiţionărilor valorilor proprii individuale, i.e.
s Λ
def
= ‖s‖, κ Λ
def
= ‖κ‖, (4.333)
unde
s = [s λ1 s λ2 ··· s λn ] T , κ = [κ λ1 κ λ2 ··· κ λn ] T , (4.334)