Calculul valorilor si vectorilor proprii

274 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Trebuie precizat că algoritmul Π nu pune în evidenţă, în cazul general, toate
valorileproprii”izolate”, i.e. cares-arputeaobţine fărăaefectua calculearitmetice.
Astfel, dacă matricea iniţială are, e.g. structura
⎡
A =
⎢
⎣
× × × × × ×
× × × × × ×
0 0 × × × ×
0 0 0 × × ×
0 0 0 0 × ×
0 0 0 0 × ×
unde elementele marcate × sunt nenule, aceasta nu va fi modificată de algoritmul
de mai sus (întrucât nu are nici o linie şi nici o coloană cu toate elementele extradiagonale
nule) deşi se vede clar că elementele (3,3) şi (4,4) sunt valori proprii.
Obţinerea prin transformări de asemănare cu permutări a structurii bloc (4.162)
nu mai este posibilă în acest caz pentru că vectorii proprii asociaţi valorilor proprii
remarcate au o structură mai complexă.
✸
Echilibrare
Aşa cum vom vedea în §4.10, condiţionarea spectrului de valori proprii ale unei
matrice A este dependentă de ‖A‖ F şi este de dorit ca această normă să fie cât
mai mică. Pe de altă parte, toate transformările efectuate în diversele variante ale
algoritmului QR sunt unitare (ortogonale) deci, printre altele, asigură conservarea
condiţionării spectrului. Se ridică în mod natural problema dacă, într-o fază preliminară,
această condiţionare nu ar putea fi îmbunătăţită aplicând transformări de
asemănare neunitare (neortogonale).
Din motive de eficienţă, în practica numerică s-a pus numai problema unei preprocesări
a matricei A în sensul reducerii iniţiale a normei ‖A‖ F
prin transformări
de asemănare definite de matrice diagonale, i.e. a determinării matricei diagonale
D = diag(d 1 ,d 2 ,...,d n ), astfel încât ‖D −1 AD‖ F
să fie minimă 28 .
Fie D⊂IR n×n mulţimea tuturor matricelor diagonale nesingulare de ordinul n.
Procesul de minimizare a normei ‖D −1 AD‖ F
are la bază următoarelerezultate [X].
1 ◦ . Pentru orice matrice ireductibilă 29 A ∈ IR n×n 30 există o matrice A c ∈
∈ IR n×n astfel încât ‖A c ‖ F = inf D∈D ‖D −1 AD‖ F
.
2 ◦ . Se poate construi recurent un şir de matrice (A k ), diagonal asemenea cu A,
astfel încât A ∞ = lim k→∞ A k = A c .
3 ◦ . Matricea A c este echilibrată în sensul că normele euclidiene ale liniilor şi
coloanelor cu acelaşi indice sunt egale, i.e. ‖A c (k,:)‖ = ‖A c (:,k)‖, ∀ k ∈ 1 : n.
4 ◦ . Oricarear fi matriceadiagonalănesingularăD 0 şirurile (A k ) şi (B k ) asociate
matricelor iniţiale A şi, respectiv, B = D0 −1 AD 0 au aceeaşi limită A c .
Aceste rezultate teoretice nu pot fi utilizate ca atare într-o operaţie de precondiţionare
a unei matrice întrucât înseşi aceste calcule sunt afectate de erorile de
28 Evident, pot fi utilizate şi alte norme matriceale consistente.
29 O matrice A ∈ IR n×n (sau A ∈ IC n×n ), n[ ≥ 2 se numeşte ] ireductibilă dacă nu există nici o
B C
matrice de permutare P astfel încât P T AP = cu B ∈ IR
0 D
r×r , 1 ≤ r < n.
30 Cazul matricelor complexe se tratează analog.
⎤
,
⎥
⎦