Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 387
Propoziţia 5.6 Fie A ∈ IC m×n având rangA = r şi Σ = UAV H descompunerea
valorilor sale singulare. Atunci
i) Primele r coloane ale matricei unitare U formează o bază ortogonală a
subspaţiului imagine al lui A, iar ultimele m − r coloane ale lui U formează o
bază ortogonală a subspaţiului nucleu a lui A H , i.e. cu notaţiile (5.13) avem
ImU 1 = ImA, ImU 2 = KerA H . (5.56)
ii) Primele r coloane ale matricei unitare V formează o bază ortogonală a subspaţiului
imagine al lui A H , iar ultimele n − r coloane ale lui V formează o bază
ortogonală a subspaţiului nucleu a lui A, i.e. cu notaţiile (5.13) avem
ImV 1 = ImA H , ImV 2 = KerA. (5.57)
În cazul real toate aserţiunile rămân adevărate dacă operatorul hermitic este înlocuit
cu operatorul de transpunere.
Demonstraţie. i) Din DVS a matricei A avem A = U 1 Σ 1 V1 H . Cum matricea
Σ 1 V1 H este epică obţinem ImA = ImU 1 . Evident, coloanele matricei U 2 formează o
bazăortogonalăacomplementuluiortogonalînIC n alluiImU 1 =ImAcareesteacelaşi
subspaţiu cu KerA H . ii) Se repetă raţionamentul de mai sus pentru matricea
A H = VΣ T U H .
✸
Pentru scopuri mnemotehnice, în figura 5.2 sunt reprezentate, într-o formă convenţională,
relaţiile dintre subspaţiile liniare definite de o matrice m×n.
✬ ✩
✬ ✩
A IC m
✬ ✩
ImA H = ❅ ❅❘
A
ImV 1
❍
❅■ ❍❍❍❍❍❥
✬✫
❛ ✪
ImA = ImU
❅
1
0 ❅
❍❨
✩ ✫✬
❛ ✩✪
❅ A H
❍
❍
0
❍
KerA = ImV 2 ❍
❍ A H
✫
IC n
✫
✪
✪
KerA H =
ImU 2
✫ ✪
Fig. 5.2: Subspaţiile liniare fundamentale definite de o matrice A ∈ IC m×n şi relaţiile
dintre ele
pivotarea coloanelor. Deşi, din punct de vedere numeric, metoda bazată pe DVS este considerată
superioară, în majoritatea aplicaţiilor metoda bazată pe factorizarea QR cu pivotarea coloanelor
este la fel de sigură fiind, în acelaşi timp, mai eficientă.