Calculul valorilor si vectorilor proprii

314 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
J
1. Se calculează forma Schur (complexă) utilizând algoritmul QR.
2. Se ordonează forma Schur astfel încât valorile proprii apreciate
ca fiind egale să fie grupate.
3. Se calculează forma bloc-diagonală astfel încât fiecărui bloc să-i
corespundă o valoare proprie distinctă.
4. Se calculează forma canonică Jordan a fiecărui bloc diagonal
conform indicaţiilor din prezenta secţiune.
Subliniem în final complexitatea sarcinii de a calcula forma canonică Jordan,
dependenţacritică astructurii obţinute de delicatedecizii de rangce trebuie luate la
pasul 4, precum şi posibile condiţionări nesatisfăcătoare sau instabilităţi numerice
în rezolvarea ecuaţiilor matriceale Sylvester din pasul 3, mai ales în situaţia în
care separarea valorilor proprii considerate distincte este insuficientă. De aceea,
în aplicaţiile de calcul numeric, se evită utilizarea formei canonice Jordan. Aşa
cum s-a precizat, din fericire, forma Schur, mult mai robustă, este suficientă pentru
rezolvarea practic a tuturor problemelor de interes aplicativ.
4.8 Algoritmul QR simetric
Matricele reale simetrice A = A T ∈ IR n×n apar în numeroase aplicaţii specifice. În
particular, problema generală a celor mai mici pătrate presupune rezolvarea (mai
mult sau mai puţin explicită a) sistemului normal de ecuaţii a cărui matrice este
simetrică. Maimult,cazulsimetricesteimportantpentrucalcululvalorilorsingulare
ale unei matrice, problemă ce apare în toate aplicaţiile ce fac apel la conceptul de
rang matriceal.
Din punct de vedere procedural, exploatarea simetriei în determinarea valorilor
şi vectorilor proprii conduce la dezvoltări elegante şi la importante simplificări ale
calculelor. Algoritmul QR simetric rămâne un instrument fundamental pentru
calculul întregului spectru al unei matrice simetrice. Totuşi, spre deosebire de cazul
general, în care algoritmul QR nu are rival, în cazul simetric, în situaţii specifice,
există soluţii alternative viabile, cele mai importante fiind prezentate în §4.9.
Sursa importantelor facilităţi de calcul care apar în cazul simetric se află în
rezultatulfundamental datde teorema4.2 47 , conformcăreiaoricematricesimetrică
A ∈ IR n×n este ortogonal diagonalizabilă, i.e. există o matrice ortogonală Q ∈
IR n×n astfel încât
Q T AQ = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ), (4.265)
adică toate matricele simetrice reale sunt simple, au un spectru real λ(A) ∈ IR, iar
direcţiile proprii, definite de coloanele matricei Q din (4.265), sunt ortogonale două
câte două.
În continuare vom trece în revistă principalele aspecte ale algoritmului QR simetric.
Atât pentru acest algoritm, cât şi pentru metodele alternative menţionate,
47 Rezultatele stabilite în continuare pentru matricele reale simetrice rămân valabile, cu mici
adaptări, pentru matricele complexe A ∈ IC n×n hermitice. Formularea exactă a unor rezultate
şi prezentarea aspectelor algoritmice specifice fac obiectul paragrafului §4.8.5 precum şi al unor
exerciţii.