Calculul valorilor si vectorilor proprii

276 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
ρ ki = ‖A ki (i,:)‖, κ ki = ‖A ki (:,i)‖ normele liniei, respectiv a coloanei i a matricei
A ki , singurele afectate de transformarea definită de D ki . (Datorită ipotezei că
matricea A 0 nu are linii sau coloane nule avem ρ ki κ ki ≠ 0). Atunci diferenţa din
(4.167), ca funcţie de ν, are expresia
δ ki (ν) = ‖A ki ‖ F 2 −‖A k,i+1 ‖ F 2 = ρ 2 ki +κ 2 ki −( ρ2 ki
ν 2 +κ2 kiν 2 ) (4.168)
şi este maximă pentru
ν ∗ =
√
ρki
κ ki
. (4.169)
Acum, considerăm d ki = β σ ki
cel mai apropiat de valoarea de mai sus a lui ν ∗ , i.e.
acel σ ki întreg (unic determinat) pentru care
sau, echivalent,
β σ ki− 1 2 < ν ∗ ≤ β σ ki+ 1 2 (4.170)
β 2σ ki−1 < ρ ki
κ ki
≤ β 2σ ki+1 . (4.171)
Calculul efectiv al lui σ def
= σ ki , pentru µ def
= ρ ki
κ ki
> 0 dat, se poate face eficient
observând că
β 2σ−1 < µ ≤ β 2σ+1 ⇐⇒ µ ≤ β 2σ+1 < µβ 2 , (4.172)
observaţie care conduce la următoarea schemă de calcul.
σ 1. σ = 0
2. ν = 1
3. α = β
4. C^at timp α < µ
1. σ ← σ +1
2. ν = νβ
3. α = αβ 2
5. C^at timp α ≥ µβ 2
1. σ ← σ −1
2. ν = ν β
3. α = α β 2
De reţinut că toate calculele din schema de mai sus se pot efectua exact (i.e.
instrucţiunile 4.2, 4.3, 5.2, 5.3 conţin operaţii aritmetice care se efectuează, esenţial,
în numere întregi), iar după execuţia lor avem α = β 2σ+1 şi ν = β σ , cea mai
apropiată valoare de acest tip de valoarea optimă ν ∗ .
Pentru a se evita cicluri, posibile datorită formei speciale a elementelor matricelor
diagonale de transformare, modificarea efectivă a unei perechi linie-coloană
i are loc numai atunci când valoarea relativă a lui δ de la un pas elementar este
superioară unei toleranţe tol impuse, i.e.
δ ki (d ki ) = ρ 2 ki +κ2 ki −(ρ2 ki
d 2 +κ 2 ki d2 ki ) > tol(ρ2 ki +κ2 ki ) (4.173)
ki