Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 423
x, i.e. (b+r) ∈ ImA. În aceste condiţii problema CMMP este de a determina acel
reziduu r ∗ ∈ IC m pentru care avem
‖r ∗ ‖ =
min ‖r‖, (5.127)
(b+r) ∈ ImA
unde ‖ · ‖ def
= ‖ · ‖ 2 este norma euclidiană din IC m . În această interpretare, dacă
r ∗ este o soluţie a problemei de minimizare (5.127), atunci orice soluţie x ∗ ∈ IC n a
sistemului Ax = b+r ∗ este (pseudo)soluţie CMMP a sistemului liniar Ax = b.
Un prim pas spre generalizare se poate face impunând o ponderare a pătratelor
din expresia‖r‖ = ( ∑ m
i=1 |r i| 2 ) 1 2
, i.e. considerareaproblemeiminimizării reziduului
”ponderat” ‖Cr‖ = ( ∑ m
i=1 |c ir i | 2 ) 1 2
, unde C = diag(c 1 ,c 2 ,...,c m ) ∈ IC m×m este o
matrice nesingulară, i.e. problema (5.127) devine
‖Cr ∗ ‖ =
min
(b+r) ∈ ImA ‖Cr‖, r ∈ ICm . (5.128)
Al doilea pas de generalizare poate fi făcut considerând şi perturbaţii la nivelul
elementelor matricei A, respectiv considerând sistemul liniar (A + E)x = b + r
şi impunând minimizarea normei Frobenius a reziduului cumulat G def
= [ E r ] ∈
∈ IC m×(n+1) . Introducând şi matricele diagonalenesingulareC=diag(c 1 ,c 2 ,...,c m )
şi D = diag(d 1 ,d 2 ,...,d n+1 ) de ”ponderare” pe linii, respectiv pe coloane, a matricei
G, problema de minimizare devine
‖CG ∗ D‖ F
=
min
(b+r) ∈ Im(A+E) ‖CGD‖ F, E ∈ IC m×n , r ∈ IC m , (5.129)
fiindcunoscutăsubdenumireadeproblemacelor mai mici pătrate totală(CMMPT).
Dacă (E ∗ ,r ∗ ) este o soluţie a problemei de minimizare (5.129), atunci orice soluţie
x ∗ a sistemului (A+E ∗ )x = b+r ∗ se numeşte (pseudo)soluţie, în sens CMMPT, a
sistemului Ax = b.
Observaţia 5.9 Problema CMMPT (5.129) poate fi echivalată cu o problemă de
minimizare a unei funcţii reale de n variabile, fără restricţii suplimentare. Pentru
simplitate, considerăm cazul real. Privind x ∈ IR n ca un parametru vectorial,
problema (5.129) poate fi formulată, într-oprimă fază, ca o problemă de minimizare
cu legături: să se calculeze matricea G ∗ ∈ IR m×(n+1) astfel încât
[ ]
‖CG ∗ D‖ 2 x
F = min
G ∈ IR m×(n+1)‖CGD‖2 F , cu legăturile (G+[A b]) = 0.
−1
Fie
[
h(G,λ) = ‖CGD‖ 2 x
F +λT (G+[A b])
−1
]
(5.130)
(5.131)
funcţia lui Lagrange asociată problemei de extrem cu legături (5.131). Pentru calculul
extremului impunem condiţiile clasice
∂h(G,λ)
∂g ij
= 0, i = 1 : m, j = 1 : n+1, (5.132)