Calculul valorilor si vectorilor proprii

346 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
definiţie care ar putea fi utilizată şi pentru un grup de valori proprii.
Pentru definirea condiţionării unui grup de valori proprii vom urma totuşi o cale
alternativăcaregeneralizeazăointerpretareinteresantăanumerelordecondiţionare
individuale definite mai sus. În acest scop vom introduce şi utiliza conceptul de
proiector spectral. Pentru simplitate, considerăm o matrice A ∈ IC n×n cu valori
proprii distincte şi fie I = {i 1 ,i 2 ,...,i q } o mulţime ordonată (i.e. i 1 < i 2 <
... < i q ) de indici din 1 : n. Notăm λ I (A) = {λ i1 ,λ i2 ,...,λ iq } ⊂ λ(A). Fie,
acum, U I ⊂ IC n subspaţiul A-invariant asociat setului de valori proprii λ I (A) şi
V ⊂ IC n subspaţiulA-invariantcomplementar,asociatsetuluiλ J (A) = λ(A)\λ I (A).
Întrucât avem IC n = U⊕V, pentru orice vector x ∈ IC n există vectorii u ∈ U şi v ∈ V,
unic determinaţi, astfel încât x = u+v. Vectorul u se numeşte proiecţia vectorului
x pe subspaţiul U paralelă cu subspaţiul V, iar vectorul v proiecţia vectorului x pe
subspaţiul V paralelă cu subspaţiul U. Aplicaţia liniară P I : IC n → U se numeşte
proiecţia spectrală asociată setului de valori proprii λ I (A), iar pentru o bază fixată
a spaţiului IC n , matricea P I ∈ IC n×n asociată aplicaţiei P I se numeşte proiector
spectral pe subspaţiul U. Evident, P I x = u, ∀x ∈ IC n şi PI 2 = P I.
Fie, acum, o matrice U ∈ IC n×q ale cărei coloane formează o bază a subspaţiului
U. Conform propoziţiei 4.1, avem AU = UB, unde B ∈ IC q×q este o restricţie a
matricei A la subspaţiul A-invariant U şi λ(B) = λ I (A). Similar, fie V ∈ IC n×(n−q)
o matrice ale cărei coloane formează o bază a subspaţiului V şi AV [ = VC. ] Evident,
Y
matriceaT = [U V ]este nesingulară. ConsiderămpartiţiaT −1 = a inversei
Z
matricei T, unde Y ∈ IC q×n şi Z ∈ IC (n−q)×n . Avem imediat YAU = B, YAV = 0,
ZAU = 0 şi ZAV = C. Prin urmare, T −1 AT = diag(B,C). Mai mult, este simplu
de văzut că matricele
P I = UY, P J = VZ = I n −P I (4.335)
sunt proiectorii spectrali pe subspaţiile A-invariante U şi, respectiv, V.
Considerăm, în continuare, o valoare proprie simplă λ ∈ λ(A), un vector propriu
la dreapta x şi un vector propriu la stânga y, ambii de norme euclidiene unitare,
asociaţi valorii proprii λ. Subspaţiul A-invariant unidimensional U = Imx are drept
complement subspaţiul A-invariant n −1 dimensional V = Kery H , iar P λ = xyH
y H x
este proiectorul spectral pe subspaţiul U. Avem următoarea exprimare posibilă a
condiţionării valorii proprii λ. Întrucât ‖xyH ‖ = ‖x‖·‖y‖ (demonstraţi!), rezultă
s λ = 1
‖P λ ‖ , respectiv κ λ = ‖P λ ‖. (4.336)
Aceste relaţii pot fi generalizate, în modul cel mai natural, la definirea condiţionării
unor seturi de mai multe valori proprii. Fără a intra în detalii, vom defini
parametrul s I şi condiţionarea κ I a unui set λ I ⊂ λ(A) de valori proprii prin
s I = 1
‖P I ‖ , respectiv κ I = ‖P I ‖, (4.337)
unde P I este proiectorul spectral pe subspaţiul A-invariant asociat valorilor proprii
λ I . La fel ca în cazul valorilor proprii individuale, s I şi κ I sunt invariante la transformări
unitare (în cazul real, ortogonale) de asemănare. În consecinţă, evaluarea