Calculul valorilor si vectorilor proprii

458 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
HT-k 1. Pentru i = n:−1:k +2
se obţin matricele
1. Se determină rotaţia Q (k)
i−1,i astfel încât ((Q(k) i−1,i )H A)(i,k) = 0
2. A ← (Q (k)
i−1,i )H A
3. B ← (Q (k)
i−1,i )H B % Se alterează zeroul din poziţia (i,i−1)
a matricei superior triunghiulare B
4. Q ← QQ (k)
i−1,i
5. Se determină rotaţia Z (k)
i−1,i
6. A ← AZ (k)
i−1,i
7. B ← BZ (k)
i−1,i
8. Z ← ZZ (k)
i−1,i
astfel încât (BZ(k) i−1,i )(i,i−1) = 0
A←A (k) =(Q (k) (k)
k+1,k+2
)H···(Q n−2,n−1 )H (Q (k)
n−1,n )H A (k−1) Z (k)
n−1,n Z(k) n−2,n−1···Z(k) k+1,k+2
şi
def
= (Q (k) ) H A (k−1) Z (k) (6.36)
B←B (k) =(Q (k) (k)
k+1,k+2
)H···(Q n−2,n−1 )H (Q (k)
n−1,n )H B (k−1) Z (k)
n−1,n Z(k) n−2,n−1···Z(k) k+1,k+2
def
= (Q (k) ) H B (k−1) Z (k) (6.37)
cu A (k) (k+2 : n,k) = 0, cu structura primelor k−1 coloane ale matricei A (k−1)
rămasă nealterată şi cu B (k) superior triunghiulară, realizându-se astfel obiectivul
pasului k. Evident, matricele unitare de transformare
Q (k) def
= Q (k)
n−1,n Q(k) n−2,n−1···Q(k) k+1,k+2 ,
Z(k) def
= Z (k)
n−1,n Z(k) n−2,n−1···Z(k) k+1,k+2
(6.38)
cumulează cele două secvenţe de rotaţii utilizate la pasul k.
În concluzie, pasul 1 de mai sus permite iniţierea procedurii de reducere a
perechii (A,B) la forma Hessenberg generalizată, iar pasul k arată că această reducere
poate fi continuată. După n−2 paşi se obţine rezultatul dorit, i.e.
A ← H = (Q (n−2) ) H ···(Q (2) ) H (Q (1) ) H AZ (1) Z (2)···Z (n−2) def
= Q H AZ, (6.39)
B ← T = (Q (n−2) ) H ···(Q (2) ) H (Q (1) ) H BZ (1) Z (2)···Z (n−2) def
= Q H BZ (6.40)
cu H superior Hessenberg şi T superior triunghiulară, i.e. cu perechea (H,T) în
forma Hessenberrg generalizată. Evident, matricele unitare de transformare
Q def
= Q (1) Q (2)···Q (n−2) , Z def
= Z (1) Z (2)···Z (n−2) (6.41)
cumulează toate transformările efectuate.