Calculul valorilor si vectorilor proprii

340 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului IT J va fi
[A,c,s] = IT J(A,p,q),
iar complexitatea sa este O(n), fiind necesari numai N op ≈ 6n flopi.
Parametrii p, q ai transformării Jacobi ce defineşte iteraţia curentă se pot determina
aplicând strategii diverse. Oricare ar fi strategia aplicată, un element anulat
la o iteraţie poate deveni nenul la iteraţiile ulterioare (acesta este cazul obişnuit),
astfel că, aşa cum era de aşteptat, procesul de diagonalizare este, teoretic, infinit.
Criteriile practice de terminare se referă la situaţiile în care toate elementele extradiagonaledevin,
învaloareabsolută, neglijabile. Dintre criteriileuzuale de apreciere
a acestui fapt amintim
sau
n max
i,j∈1:n
i≠j
|a ij | < tol, (4.324)
‖A−diag(A)‖ F < tol‖A‖ F , (4.325)
unde scalarul pozitiv tol exprimă nivelul de toleranţă acceptat, şi are, în mod
obişnuit, valori de ordinul de mărime al erorilor de reprezentare în formatul virgulă
mobilă folosit.
Prezentăm în continuare două strategii de alegere a parametrilor p şi q, care
s-au impus în practica numerică, şi algoritmii de calcul corespunzători.
Metoda Jacobi clasică
În aşa numita metodă Jacobi clasică, parametrii p, q se determină astfel încât a pq să
fie elementul extradiagonal de modul maxim al matricei curente. Intuitiv, o astfel
de alegere ar trebui să asigure o viteză de convergenţă superioară, ceea ce nu este
întotdeauna adevărat. Algoritmul corespunzător, cu criteriul de terminare de tipul
(4.324), arată astfel.
Algoritmul 4.30 (J clasic – Diagonalizare iterativă a unei matrice
simetrice prin metoda Jacobi clasică) (Date matricea simetrică
A ∈ IR n×n , prin triunghiul său inferior, matricea ortogonală Q ∈ IR n×n
şi toleranţa tol < 1, algoritmul calculează valorile proprii ale matricei
A prin diagonalizarea iterativă cu rotaţii Jacobi care anulează, la
pasul curent, elementul extradiagonal de modul maxim. Acumularea
transformărilorJacobi se efectuează opţional. Opţiunea se exprimă prin
intermediul unei variabile logice opt care poate lua valorile ’da’ sau
’nu’. Dacă opt = ′ nu ′ , matricea Q rămâne nemodificată.)
1. µ = 1
2. C^at timp nµ > tol
1. µ = 0
2. Pentru i = 2 : n
1. Pentru j = 1 : i−1
✸