Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.4. CALCULUL SUBSPAŢIILOR DE DEFLAŢIE 487
Z2 HZ 1 = 0, rezultă
[ ][
S11 S
V 1 = Im([Q 1 Q 2 ] 12 Z
H
1
0 S 22 Z2
H
]
Z 1 ) = Im(Q 1 S 11 ) ⊆ ImQ 1 ,
cu egalitate în ultima relaţie dacă şi numai dacă S 11 este nesingulară. În acest din
urmă caz coloanele lui Q 1 formează o bază unitară a lui V 1 . Absolut analog avem
def
V 2 = BS = Im(BZ 1 ) = Im(QTZ H Z 1 ) de unde rezultă
V 2 = Im(Q 1 T 11 ) ⊆ ImQ 1 ,
cu egalitate în ultima relaţie dacă şi numai dacă T 11 este nesingulară.
În consecinţă,
V def
= AS +BS = V 1 +V 2 ⊆ ImQ 1 . (6.76)
cu egalitate în ultima relaţie dacă una din matricele S 11 sau T 11 este nesingulară.
În toate situaţiile avem
dimV ≤ dimS (6.77)
ceea ce înseamnă, conform definiţiei 6.2, că S = ImZ 1 este un un subspaţiu de
deflaţie al fascicolului matriceal definit de perechea (A,B), subspaţiu pe care îl asociem,
în mod natural, cu setul de valori proprii generalizate λ(S 11 ,T 11 ) ⊂ λ(A,B).
În cazul real, toate consideraţiile de mai sus rămân valabile cu singurul amendament
că subspaţiile de deflaţie reale ale unui fascicol real se asociază întotdeauna
unor seturi simetrice de valori proprii generalizate 17 fapt indus de posibilitatea
unor partiţii de forma (6.74) unde, de data aceasta, S este în formă Schur reală.
Ţinând seama de cele de mai sus, un subspaţiu de deflaţie al unui fascicol (A,B)
este complet definit de un set de valori proprii generalizate, iar calculul său (i.e.
calculul unei baze ortogonale) se reduce, în definitiv, la obţinerea unei forme Schur
generalizate (S,T) = (Q H AZ,Q H BZ) în care setul de valori proprii precizat coincide
cu spectrul de valori proprii al subfascicolului lider principal de dimensiune
corespunzătoare. O dată obţinută această formă Schur, baza căutată este dată de
primele coloane ale matricei Z. Prin urmare, după aplicarea algoritmului QZ şi
obţinerea unei prime forme Schur, în care perechile diagonale nu au o ordine predeterminată,
calculul unui subspaţiu de deflaţie se reduce la ordonarea perechilor
diagonale (i.e. aducerea în primele poziţii diagonale a valorilor proprii vizate), prin
transformări unitare de echivalenţă, şi actualizarea matricei de transformare Z.
La fel ca în cazul valorilor proprii ordinare, mecanismul de ordonare a formei
Schur generalizate se va baza pe procedurile de permutare a doua perechi (de
blocuri, în cazul real) diagonale adiacente.
6.4.1 Ordonarea formei Schur generalizate (complexe)
Vom considera mai întâi cazul complex. Fie un fascicol matriceal de ordinul doi
(S,T) ∈ IC 2×2 ×IC 2×2 în formă Schur generalizată cu valorile proprii distincte, i.e.
17 Reamintim că prin set simetric înţelegem o mulţime numerică în care elementele complexe
apar în perechi complex conjugate.