Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 309
O primă dificultate majoră este determinarea ordinelor n k , k = 1 : q, ale celulelor.
O modalitate de a face acest lucru pleacă de la următoarele observaţii: a) J l k = 0
pentru toţi l ≥ n k şi b) dimKerJ l k = l, pentru l < n k. Cum
J l = T −1 N l T = diag(J l 1, J l 2, ..., J l q), (4.245)
şi
q∑
dimKerJ l = dimKerN l = dimKerJi, l (4.246)
i=1
rezultă că, dacă putem calcula m l
def
= dimKerN l pentru l ∈ 1 : n 43 , atunci dimensiunile
n i ale celulelor Jordan pot fi determinate din (4.246) pe baza următoarelor
constatări:
a) numărul celulelor Jordan de ordin l sau mai mare este δ l = m l − m l−1 (se
consideră m 0 = 0), întrucât o dată ce l a atins valoarea n i , J l i a devenit nulă,
i.e. dimKerJ l i a atins valoarea maximă n i şi nu mai contribuie la variaţia sumei la
trecerea la valoarea următoare a lui l;
b) numărul celulelor Jordan de ordin l este dat de ν l = δ l −δ l+1 (se consideră
δ lmax+1 = 0).
Exemplul 4.5 Fie n = 8 ordinul matricei strict superior triunghiulare N. O
situaţie structurală posibilă ce poate fi dedusă din determinarea dimKerN l , pentru
toate valorile de interes ale lui l, este rezumată întabelul 4.6. Deci structura Jordan
a matricei N are o celulă scalară, două celule de ordinul 2 şi o celulă de ordinul 3.
✸
l 1 2 3
m l = dimKerN l 4 7 8
δ l = m l −m l−1 4 3 1
ν l = δ l −δ l+1 1 2 1
Tabelul 4.6: Determinarea dimensiunii celulelor Jordan pentru o matrice strict
superior triunghiulară de ordinul 8
Pentru aplicarea celor arătate mai sus este necesar un mijloc fiabil de determinare
a dimensiunilor subspaţiilor implicate sau, echivalent, de calcul al rangului
unor matrice. Aici este de fapt punctul critic al procedurii, întrucât deciziile de
rang exact într-un mediu de calcul aproximativ sunt dificile, dacă nu imposibile,
iar conceptul de rang numeric (i.e. într-un sens, de rang aproximativ, v. cap. 5),
singurul instrument de care putem dispune în condiţiile precizate, trebuie utilizat
cu multă grijă într-o abordare structurală în care structura este foarte sensibilă la
variaţiile elementelor.
43 Evident, este suficient să ne rezumăm la l ≤ s, unde s este cel mai mic întreg pentru care
N s = 0.