Calculul valorilor si vectorilor proprii

482 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
transformarea ortogonală de echivalenţă ce aduce perechea ( ˜H, ˜T) la forma Schur
generalizată se pot construi procedând ca în demonstraţia propoziţiei 6.2. Concret,
(vezi exerciţiul 6.9), ˜Z este reflectorul care asigură (˜Zv)(2) = 0, iar apoi ˜Q este
reflectorul care asigură (˜Q T (˜T ˜Z(:,1))(2) = 0.
Dacă blocul diagonal ce trebuie triangularizat se află pe liniile şi coloanele k şi
k+1, atunci rezultatul dorit se obţine aplicând perechii (H,T), de ordinul n, transformarea
ortogonală de echivalenţă definită de matricele Q = diag(I k−1 , ˜Q,I n−k−1 )
şi diag(I k−1 , ˜Z,I n−k−1 ).
În vedereaunei scrierimai concise a algoritmuluiQZ prezentămaici un algoritm
preliminar care procesează perechea bloc-diagonală 2×2 aflată în poziţia (k,k+1).
Algoritmul 6.8 (TRID2g -Triangularizarea unei perechi de blocuri
diagonale 2×2) (Date o pereche (S,T) ∈ IR n×n ×IR n×n , cu S în formă
cvasi-superior triunghiulară şi T superior triunghiulară nesingulară şi
întregul k ∈ 1:n−1, algoritmul testează dacă perechea de blocuri diagonale
(S(k: k+1,k: k+1),T(k: k+1,k: k+1)) are valorile proprii generalizate
reale şi, în caz afirmativ, calculează triangularizarea ortogonală
a perechii bloc-diagonale vizate, rezultatul suprascriind perechea (S,T).
De asemenea, algoritmul returnează elementele definitorii (u Q ,β Q ) şi
(u Z ,β Z ) ale celor doi reflectori calculaţi. În caz contrar perechea (S,T)
rămâne nemodificată şi, pentru identificarea acestei situaţii, se returnează
β Z = 0.)
1. β Z = 0
2. α = t k,k t k+1,k+1 , β = s k,k t k+1,k+1 + s k+1,k+1 t k,k − s k+1,k t k,k+1 ,
γ = s k,k s k+1,k+1 −s k,k+1 s k+1,k , ∆ = β 2 −4αγ
3. Dacă ∆ ≥ 0 atunci
1. λ 1 = (β +sgn(β) √ ∆)/2α
[ ]
λ1 t k+1,k+1 −s k+1,k+1
2. v =
s k+1,k
3. [v,u Z ,β Z ] = Hr(v)
4. S(1 : k+1,k:k+1) = Hrd(S(1 : k+1,k:k+1),u Z ,β Z )
5. T(1 : k+1,k:k+1) = Hrd(T(1 : k+1,k:k+1),u Z ,β Z )
6. [T(k:k+1,k),u Q ,β Q ] = Hr(T(k:k+1,k))
7. S(k:k+1,k:n) = Hrs(u Q ,β Q ,S(k: k+1,k:n))
8. S(k+1,k) = 0 % zeroul calculat se setează la un zero efectiv
9. T(k:k+1,k+1:n) = Hrs(u Q ,β Q ,T(k: k+1,k+1:n))
Comentarii. Sintaxa de apel a acestui algoritm va fi
iar complexitatea sa este O(n).
[S,T,u Q ,β Q ,u Z ,β Z ] = TRID2g(S,T,k),
Cu acesteprecizărişi ţinând seamade aspectelecomune cu cazulcomplexputem
scrie algoritmul QZ standard cu pas dublu, cu deplasare implicită, pentru calculul
formei Schur reale generalizate.
✸