Calculul valorilor si vectorilor proprii

452 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Deci, dimV ≤ k, adică S este un subspaţiu de deflaţie k-dimensional al perechii
(A,B). Cu alte cuvinte, primele k coloane ale matricei de transformare Z, i.e.
primii k vectori Schur la dreapta ai perechii (A,B), formează o bază ortogonală a
subspaţiului de deflaţie k-dimensional asociat valorilor proprii generalizate definite
de perechile (s ii ,t ii ), i = 1 : k. În acest mod, prin ordonarea corespunzătoare a
elementelor diagonale ale matricelor S şi T, se pot construi baze ortogonale pentru
subspaţiide deflaţieasociateunorgrupuriimpuse devaloripropriigeneralizate(vezi
secţiunea 6.4).
6.2.2 Forma Schur reală generalizată
În cazul în care matricele A, B sunt reale se obţine un spor important de eficienţă
dacă se utilizează în exclusivitate o aritmetică reală. Corespondentul generalizat al
formei Schur reale este introdus prin următoarea teoremă pe care o prezentăm fără
demonstraţie.
Teorema 6.2 (Forma Schur reală generalizată) Oricare ar fi perechea (A,B) ∈
∈ IR n×n ×IR n×n există matricele ortogonale Q,Z ∈ IR n×n astfel încât
Q T AZ = S, Q T BZ = T, (6.16)
unde matricea S este în formă Schur reală iar matricea T este superior triunghiulară.
Perechile de blocuri diagonale (S ii ,T ii ), i = 1:p, de dimensiuni 1×1 sau 2×2
ale matricelor S şi T determină valorile proprii generalizate ale perechii (A,B), mai
precis dacă blocul diagonal i al lui S are ordinul n i , atunci ∑ p
i=1 n i = n şi
λ(A,B) = ∪ p i=1 λ(S ii,T ii ). (6.17)
Perechile de blocuri diagonale pot fi dispuse în orice ordine predeterminată.
Perechea (S,T) se numeşte forma Schur reală generalizată (FSRG) a perechii
(A,B), iar coloanele q i , respectiv z i , ale matricelor ortogonale de transformare Q
şi Z se numesc vectori Schur generalizaţi ai perechii (A,B) la stânga, respectiv la
dreapta, asociaţi FSRG.
Conform(6.17), dacădispunemdeFSRGauneiperechi(A,B), calcululvalorilor
proprii generalizate se reduce la rezolvarea ecuaţiilor algebrice
det(S ii −λT ii ) = 0, i = 1:p, (6.18)
de grad cel mult doi.
Toate consideraţiile făcute în legătură cu FSG au un corespondent transparent
pentru FSRG. De exemplu, dacă dimensiunea cumulată a primelor l blocuri diagonale
ale matricei S este k, atunci primele k coloane ale matricei ortogonalede transformare
Z formează o bază ortogonală a unui subspaţiu de deflaţie k-dimensional
(din IR n ) al perechii (A,B) asociat ”primelor” k valori proprii generalizate.
Din cele de mai sus rezultă că problema de calcul a valorilor proprii generalizate
se reduce, în esenţă, la obţinerea formei Schur (reale) generalizate. Cum acest lucru
nu este posibil, în cazul general, printr-o secvenţă finită de operaţii elementare,
calculul va fi bazat, în mod necesar, pe trunchierea unui proces infinit, similar
algoritmuluiQR.Înformasaceamaiperformantăaceastăprocedurăestecunoscută
sub numele de algoritm QZ şi este prezentată în secţiunea ce urmează.