Calculul valorilor si vectorilor proprii

388 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
5.2.6 Proiectori ortogonali
DVS oferă pe lângă baze ortogonale şi posibilitatea de calcul a proiectorilor ortogonali
pe subspaţiile fundamentale definite de o matrice dată. Deşi noţiunea de
proiector ortogonal a mai fost introdusă şi utilizată în capitolele 1 şi 3, pentru
comoditatea cititorului, reluăm problema în contextul DVS.
Definiţia 5.5 Fie S ⊂ IC n un subspaţiu liniar şi T = S ⊥ complementul său ortogonal
în IC n . O matrice P ∈ IC n×n care satisface condiţiile
{ y = Px ∈ S
z = x−y ∈ T , ∀x ∈ ICn (5.58)
se numeşte matrice de proiecţie ortogonală sau proiector ortogonal pe S.
Vectorii y = Px şi z = x−y se numesc proiecţiile ortogonale ale vectorului x
pe S şi, respectiv, pe T .
Definiţia de mai sus se particularizează în mod natural la subspaţii liniare din
spaţiul vectorial IR n .
Existenţa, unicitatea şi principalele proprietăţi ale proiectorilor ortogonali sunt
prezentate sub forma unei teoreme.
Teorema 5.7 Oricare ar fi subspaţiul S ⊂ IC n proiectorul ortogonal P există şi este
unic determinat. Dacă vectorii v 1 ,v 2 ,...,v k formează o bază ortogonală a lui S,
atunci proiectorul ortogonal are expresia
P = VV H ,
V def
= [v 1 v 2 ··· v k ] ∈ IC n×k . (5.59)
Matricea de proiecţie ortogonală P este hermitică (simetrică în cazul real), idempotentă
şi coloanele ei generează subspaţiul S, i.e.
P H = P, P 2 = P, ImP = S. (5.60)
Demonstraţie. Existenţa. Dacă S = {0}, atunci P = 0. Pentru un subspaţiu cu
dimS = k ≥ 1 există o bază ortogonală. Vom arăta că matricea P definită de (5.59)
este un proiector ortogonal pe S. Într-adevăr, y = Px = VVH x = Vw ∈ ImV = S
pentru toţi x ∈ IC n şi dacă z = x − y, atunci z H V = x H V − x H VV H V = 0, i.e.
z ⊥ S sau, echivalent, z ∈ S ⊥ . Unicitatea. Fie P 1 şi P 2 doi proiectori ortogonali
pe acelaşi subspaţiu S. Atunci avem
‖(P 1 −P 2 )x‖ 2 2 = (P 1 x) H (x−P 2 x)+(P 2 x) H (x−P 1 x) = 0, ∀x ∈ IC n
întrucât, conform (5.58), S ∋ P 1 x ⊥ (x−P 2 x) ∈ S ⊥ şi S ∋ P 2 x ⊥ (x−P 1 x) ∈ S ⊥ .
Obţinem (P 1 −P 2 )x = 0, ∀x ∈ IC n şi, considerând n vectori liniar independenţi x,
rezultă P 1 = P 2 .
În continuare, primele două relaţii (5.60) rezultă imediat din expresia (5.59) a
unui proiector ortogonal. Vom arăta acum că ImP = S oricare ar fi proiectorul
ortogonal pe S. Avem Px ∈ S, i.e. ImP ⊂ S. Reciproc, conform (5.58), pentru
toţi y ∈ IC n avemPy ∈ S şi z = y−Py ∈ S ⊥ . Dacăy ∈ S, atunci avemşi y−Py ∈ S