Calculul valorilor si vectorilor proprii

454 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Cum x ∈ KerC 1 (µ) implică în mod necesar x(1 : k) = 0, rezultă că KerC 1 (µ) =
= ImE, unde E = [e k+1 ,e k+2 ,...,e n ]. Dar KerC 1 (µ) ⊂ KerA 1 . Deci A 1 E = 0, i.e.
A 1 (:,k +1 : n) = 0, şi cum A 1 este hermitică, rezultă că are următoarea structură
(din exact aceleaşi motive această structură o are şi matricea B)
A 1 =
[
A11 0
0 0
Din (6.24) rezultă
]
, B 1 =
[
B11 0
0 0
]
, A 11 ,B 11 ∈ IC k×k . (6.26)
µA 11 +(1−µ)B 11 = I k . (6.27)
Distingem două situaţii:
a) Dacă µ = 0, atunci B 11 = I k şi considerăm forma Schur (diagonală)
F 11 = Q H 11A 11 Q 11 = diag(f 1 ,f 2 ,...,f k )
a blocului A 11 . Luând matricea unitară Q = diag(Q 11 ,I n−k ) şi definind matricea
de transformare T = T 1 Q, avem
F = T H AT = Q H A 1 Q = diag(F 11 ,0), G = T H BT = Q H B 1 Q = diag(I k ,0),
(6.28)
i.e. forma diagonală generalizată a perechii iniţiale.
b) Dacă µ ≠ 0, atunci considerăm forma Schur (diagonală)
G 11 = Q H 11 B 11Q 11 = diag(g 1 ,g 2 ,...,g k )
a blocului B 11 . Luând din nou matricea unitară Q = diag(Q 11 ,I n−k ) şi definind
matricea de transformare T = T 1 Q, avem
F = T H AT = 1 µ TH (C(µ)−(1−µ)B)T =
= 1 µ
([
Ik 0
0 0
] [
G11 0
−(1−µ)
0 0
])
=
(6.29)
unde
= diag(f 1 ,f 2 ,...,f k ,0,...,0),
G = T H BT = Q H B 1 Q = diag(g 1 ,g 2 ,...,g k ,0,...,0),
f i = 1 µ − 1−µ
µ g i.
Am obţinut şi în acest caz forma diagonală generalizată a perechii iniţiale.
În cazul real demonstratia este identică, cu menţiunea că toate matricele care
apar sunt reale. Teorema este demonstrată.
✸
În aplicatii, de cele mai multe ori, apar fascicole hermitice (simetrice) de semn
definit. Evident, într-unastfeldecaz,condiţiileteoremeidemaisussuntîndeplinite:
dacă B este pozitiv definită, atunci pentru µ = 0, iar dacă A este pozitiv definită,
atunci pentru µ = 1. Deci fascicolele hermitice pozitiv definite sunt întotdeauna
generalizat diagonalizabile.