Calculul valorilor si vectorilor proprii

446 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
admite soluţii nenule numai dacă matricea sistemului A−λB este singulară. Prin
urmare, valorile proprii generalizate ale perechii (A,B) sunt zerourile polinomului
p(λ) = det(A−λB), (6.4)
numit polinomul caracteristic al fascicolului F 2 . Dacă matricele A şi B sunt reale,
atunci polinomul caracteristic are coeficienţii reali şi valorile proprii generalizate
complexe apar în perechi complex-conjugate. Multiplicitatea n i a rădăcinii λ i a
polinomului caracteristic se numeşte multiplicitate algebrică a valorii proprii generalizate
λ i .
Evident, valorile şi vectorii proprii ai matricei A coincid cu corespondenţii lor
generalizaţi ai perechii (A,I n ).
Vom nota cu λ(A,B) spectrul generalizat, i.e. mulţimea valorilor proprii generalizate
ale perechii (A,B).
Prezentăm principalele proprietăţi ale valorilor şi vectorilor proprii generalizaţi
sub forma următoarei propoziţii.
Propoziţia 6.1 Fie perechea (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n .
1 ◦ Dacă matricea B este nesingulară, atunci gradul polinomului caracteristic
este n, deci numărul valorilor proprii generalizate ale perechii (A,B), incluzând
multiplicităţile, este egal cu ordinul n al matricelor. Mai mult,
λ(A,B) = λ(B −1 A) = λ(AB −1 ). (6.5)
2 ◦ Dacă λ ∈ λ(A,B) şi λ ≠ 0, atunci 1 λ ∈ λ(B,A).
Demonstraţie. 1 ◦ În acest caz polinomul caracteristic (6.4) este p(λ) = det(A−
−λB) = det(B)det(B −1 A − λI n ) = det(AB −1 − λI n )det(B) cu det(B) ≠ 0, i.e.
are aceleaşi rădăcini cu polinoamele caracteristice ale matricelor B −1 A şi AB −1 .
Rezultăcăp(λ)esteunpolinomdegradulncucoeficienţicomplecşişi, înconsecinţă,
are exact n valori proprii complexe, nu neapărat distincte. 2 ◦ Dacă λ ≠ 0, atunci
(6.3) implică (B − 1 λA)x = 0. ✸
Observaţia 6.1 Dacă matricea B este singulară, atunci numărul valorilor proprii
generalizatealperechii (A,B) poate luaoricevaloaredin mulţimea(0 : n−1)∪{∞}.
Într-adevăr, să considerăm situaţiile:
a) A nesingulară şi B = 0, caz în care perechea (A,B) nu are nici o valoare
proprie generalizată;
b) A = diag(A 1 ,A 2 ), B = diag(B 1 ,0) cu A 1 ,B 1 ∈ IC k×k , k = 1 : n −1, şi A 2 ,
B 1 nesingulare; în acest caz perechea (A,B) are exact k valori proprii generalizate;
c) polinomul caracteristic al fascicolului definit de perechea (A,B) este identic
nul (e.g. A singulară şi B = 0), situaţie în care orice număr complex este valoare
proprie generalizată a perechii (A,B).
Aceste situaţii nu sunt exclusive, vezi exemplul de mai jos. ✸
2 Ecuaţia p(λ) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică a fascicolului F.