Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4.9. METODE ALTERNATIVE 337<br />
operaţii în format virgulă mobilă, algoritmului QR <strong>si</strong>metric. Reînvierea interesului<br />
pentru metodele Jacobi se datorează modificării contextului arhitectural al echipamentelor<br />
de calcul de înaltă performanţă actuale, mai precis dezvoltării calculatoarelor<br />
paralele. Eficienţa unui algoritm paralel se evaluează pe principii diferite,<br />
avându-se în vedere efectuarea calculelor <strong>si</strong>multan de mai multe procesoare. În<br />
acest context, metodele Jacobi devin competitive datorităfaptului că au o structură<br />
granulară, bogată în acţiuni de calcul practic independente, care pot fi executate,<br />
în acelaşi timp, de procesoare diferite. Deşi prezentarea unor algoritmi paraleli nu<br />
face obiectul acestei lucrări, am con<strong>si</strong>derat oportun să introducem metodele Jacobi,<br />
în variantele lor secvenţiale, ca punct de plecare, de altfel uzual, pentru dezvoltarea<br />
variantelor paralele.<br />
Fie A ∈ IR n×n o matrice <strong>si</strong>metrică, D A = diag(a 11 ,a 22 ,...,a nn ) şi B = A−D A<br />
matricea elementelor sale extradiagonale. Precizăm că transformările din cadrul<br />
metodelor Jacobi nu conservă structura tridiagonală astfel că etapa de reducere la<br />
această structură nu este necesară.<br />
În esenţă, metodele Jacobi construiesc, iterativ, un şir de matrice, ortogonal<br />
asemenea cu matricea iniţială, pe baza relaţiei de recurenţă<br />
A k+1 = J T k A kJ k , ,k = 1,2,..., A 1 = A, (4.316)<br />
unde J k sunt rotaţii plane, numite, în acest context, transformări Jacobi, astfel<br />
calculate încât să minimizeze norma Frobenius a matricei curente B k a elementelor<br />
extradiagonale. Acest şir este convergent, în general mai lent decât şirul QR, către<br />
formadiagonală, carepune înevidenţăvalorile<strong>proprii</strong>ale matriceiiniţiale. <strong>Calculul</strong><br />
<strong>vectorilor</strong> <strong>proprii</strong> este po<strong>si</strong>bil prin acumularea transformărilor.<br />
Pentru <strong>si</strong>mplificarea notaţiilor şi pentru a evidenţia faptul că toate calculele se<br />
efectuează pe loc, în locaţiile de memorie ale tabloului A, introducem notaţiile<br />
şi<br />
A def<br />
= A k , A ′ def<br />
= A k+1 , B def<br />
= B k+1 = A k+1 −diag(A k+1 ), J def<br />
= J k<br />
A ← B ′ def<br />
= B k+1 .<br />
În vederea determinării rotaţiei plane J optimale, reamintim parametrii definitorii<br />
ai acesteia<br />
⎡<br />
⎤<br />
1<br />
. .. c s<br />
p<br />
. ..<br />
J(p,q,θ) =<br />
, p < q, c = cosθ, s = <strong>si</strong>nθ,<br />
−s c<br />
q<br />
⎢<br />
⎣<br />
. ⎥ .. ⎦<br />
1<br />
p q<br />
(4.317)<br />
toate elementele extradiagonale nemarcate ale matricei J fiind nule. Pentru parametrii<br />
p şi q fixaţi, unghiul de rotaţie θ optimal este cel care minimizează norma
Change language