Calculul valorilor si vectorilor proprii

436 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Algoritmul DVSG furnizează vectorii c şi s ai elementelor diagonale ale matricelor
diagonale C şi S, precum şi matricele de transformare. Evident, rangul matricei A
este dat de numărul componentelor ”nenule” ale vectorului c, iar rangul matricei B
de cel al componentelor ”nenule” ale vectorului s. Neglijarea elementelor vectorilor
c şi s inferioare lui tol‖A‖, respectiv lui tol‖B‖, unde tol este o toleranţă fixată, şi
determinarea rangului (numeric al) celor două matrice vor fi realizate cu algoritmul
Rang DVSG care poate fi scris fără dificultate de cititor (exerciţiul 5.23) şi care
va fi apelat folosind sintaxa
Rezultă următorul algoritm.
[r A ,r B ] = Rang DVSG(s,c,tol).
Algoritmul 5.10 (CMMP RPI – Soluţia problemei CMMP cu restricţii
pătratice tip inegalitate) (Se consideră date matricea A ∈ IC m×n ,
cu m > n, şi vectorul b ∈ IC m , care definesc problema CMMP, precum
şi matricea B ∈ IC p×n , cu p ≥ n, vectorul d ∈ IC p şi scalarul γ > 0 care
definesc restricţiile (5.162). De asemenea, pentru evaluarea rangului
este utilizată toleranţa tol. Algoritmul calculează soluţia x = x ∗ ∈ IC n
a problemei CMMP cu restricţii (5.155), (5.162) şi reziduul r = r ∗ , de
normă euclidiană minimă, aferent.)
1. [c,s,U,V,W ] = DVSG(A,B)
2. [r A ,r B ] = Rang DVSG(s,c,tol)
3. b ← U H b
4. d ← V H d
5. ρ = ∑ n−r B
i=1
|d i | 2 + ∑ p
i=n+1 |d i| 2
6. Dacă ρ > γ 2 atunci
1. Tipăreşte ’Problema unu are soluţie.’
2. Return
altfel
1. Dacă ρ = γ 2 atunci
1. y ∗ i = b i
c i
2. y ∗ i = d i
altfel
s i
pentru i = 1 : n−r B
pentru i = n−r B +1 : n
1. ν = ρ+ ∑ r A
i=n−rB
|s i
b i
c i
−d i | 2
2. Dacă ν ≤ γ 2 atunci
1. y ∗ i = b i
c i
2. y ∗ i = d i
altfel
s i
pentru i = 1 : r A
pentru i = r A +1 : n