Calculul valorilor si vectorilor proprii

368 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
P 4.66 Elaboraţi algoritmi tip Jacobi pentru calculul valorilor proprii ale unei matrice
antihermitice (antisimetrice).
[ ]
1+ǫ 1
P 4.67 Fie matricea A = ∈ IR 2×2 , cu 0 < ǫ ≪ 1. Să se calculeze
0 1−ǫ
numărul de condiţionare al celor două valori proprii şi al spectrului matricei A. Ce se
întâmplă dacă ǫ → 0
P 4.68 Să se arate că sensibilitatea unei valori proprii simple λ k ∈ λ(A) în raport cu
variaţiile elementului a ij = A(i,j) este dată de
∂λ k
= ȳk(i)x k (j)
∂a ij yk Hx ,
k
unde x k şi y k sunt vectori proprii la dreapta, respectiv la stânga, ai matricei A asociaţi
valorii proprii λ k .
P 4.69 Fie matricea bidiagonală A ∈ IR n×n
⎡
⎤
n n 0 ··· 0 0
0 n−1 n ··· 0 0
. 0 0 n−2 .. 0 0
A =
⎢
.
.
.
.
.
.
. ⎥
⎣
⎦
0 0 0 ··· 2 n
0 0 0 ··· 0 1
Să se calculeze numărul de condiţie al valorii proprii λ k = k. Pentru n = 20 să se dea o
evaluare a numărului de condiţie pentru valorile proprii λ 1 = 1 şi λ 20 = 20. Pentru acelaşi
n = 20 să se calculeze, cu ajutorul funcţiei eig din MATLAB, valorile proprii ale matricei
à care diferă de A numai prin elementul Ã(20,1) = 0.01. Ce constataţi
P 4.70 Se consideră matricea superior Hessenberg A ∈ IR n×n
⎡
⎤
n n−1 n−2 ··· 2 1
n−1 n−1 n−2 ··· 2 1
. 0 n−2 n−2 .. 2 1
A =
.
.
. .. . .. . ..
. ..
.
⎢
⎥
⎣
.
0 0 0 .. ⎦ 2 1
0 0 0 ··· 1 1
a) Arătaţi că detA = 1. b) Fie matricea perturbată F = A + E, unde E = ǫG, cu
matricea G având un singur element nenul G(n,1) = 1. Arătaţi că detF = 1−(n−1)!ǫ.
Evaluaţi detF pentru n = 20 şi ǫ = 10 −10 . c) Pentru n = 10, calculaţi cu ajutorul funcţiei
eig din MATLAB, vectorii proprii la stânga şi la dreapta şi, pe această bază, numerele de
condiţionare κ λmax şi κ λmin ale valorilor proprii maximă şi, respectiv, minimă ale matricei
A. Ce constataţi
P 4.71 a) Elaboraţi un algoritm performant de calcul al polinomului caracteristic al unei
matrice.
b) Elaboraţi un algoritm performant de rezolvare a ecuaţiilor algebrice, i.e. a ecuaţiilor
de tipul p(λ) = 0 unde p este un polinom cu coeficenţi reali sau complecşi.